b R Q . Montrer que ? a ?

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(1)

Feuille d’exercices n 11 - NOMBRES R ´ EELS

ENSEMBLES DE NOMBRES Exercice 147. ( )

Soit p a, b q P Q ² tels que ?

a R Q et ?

b R Q . Montrer que ? a ?

b R Q . Exercice 148. ( )

Soient x P RzQ , p a, b, c, d q P Q ⁴ tels que ad bc 0. Montrer que ax b cx d R Q . Exercice 149. ( )

Soit f un homomorphisme de R dans R , c’est ` a dire une application non nulle d´ efinie sur R ` a valeurs dans R v´ erifiant :

@ x, y P R , f p x y q f p x q f p y q et f p xy q f p x q f p y q .

1. Montrer que f p 1 q 1, puis f p x q x pour x P N , puis x P Z , puis x P Q . 2. Montrer que f p x q ¥ 0 pour tout x ¥ 0. En d´ eduire que f est croissante.

3. Montrer que f p x q x pour x P R ` a l’aide de suites de rationnels conver- geant vers x.

PARTIE ENTI` ERE Exercice 150. ( )

Montrer que la fonction x ÞÑ E p x q est croissante sur R . Exercice 151. ( )

Montrer que x ÞÑ x E p x q est 1-p´ eriodique sur R et tracer sa courbe.

Exercice 152. ₍₎ Montrer que @p n, m q P Z ² ,

Z

n m 2

^ Z

nm 1 2

^ n.

Exercice 153. ( )

On veut montrer que @n P N , @x P R, Z tnxu

n

^ txu.

1. Montrer que h : x ÞÑ Z t nx u

n

^

t x u est 1-p´ eriodique sur R.

2. D´ emontrer l’´ egalit´ e souhait´ ee.

BORNES, EXTREMUMS, MAJORANTS ET MINORANTS Exercice 154. ( )

Soient A et B deux parties non vides et major´ ees de R . 1. Montrer que A B ñ suppAq ¤ suppBq.

2. Montrer que sup(A Y B) = max t sup p A q , sup p B qu Exercice 155. ( )

Soient A et B deux parties non vides et major´ ees de R.

On pose A B t a b, a P A, b P B u .

1. Montrer que A B admet une borne sup´ erieure.

2. Montrer que sup p A B) = sup(A) + sup(B ).

Exercice 156. ( )

1. Montrer que : @ n P N , 1 ₂

²

ⁿ

1 ¤ 2.

2. On pose A !

2

ⁿ

2

ⁿ

1 , n P N )

. D´ eterminer sup(A), inf(A) si elles existent.

Exercice 157. ( ) On s’int´ eresse ` a B !

x

2 x

1 , x P R )

.

D´ eterminez, s’ils existent, les r´ eels sup(B), inf(B), min(B ) et max(B).

Exercice 158. ( ) On pose C !

p n m nm q

, p n, m q P pN q ² ) .

D´ eterminez, s’ils existent, les r´ eels sup(C), inf(C), min(C) et max(C).

Exercice 159. ( ) On pose D t ?

x E p ?

x q ; x P Nu . D´ eterminez, s’ils existent sup(D), inf(D).

Exercice 160. ( )

Soit f : r 0, 1 s Ñ r 0, 1 s une fonction croissante et E tx P r0, 1s | f pxq ¥ xu.

1. Montrer que E admet une borne sup´ erieure.

2. On note b sum p E q . Montrer que f p b q b.

Lyc´ ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI - 2019-2020

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