Problème : L'ensemble des nombres algébriques
Dans ce problème, on étudie quelques propriétés de l'ensemble A, l'ensemble des nombres algé- brique.
Un nombre complexe est dit algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul à coecients entiers.
On note A l'ensemble de ces nombres.
Partie No1 : Quelques exemples de nombres algébriques.
1. Montrer que Q⊂A.
2. Montrer que si x∈Q+ etn∈N? alors √n x∈A.
3. Montrer que√ 2 +√
3∈A.
Partie No2 : A n'est pas égal à C car e est transcendant.
Dans cette partie, on démontre quee /∈A, c'est-à-dire que en'est racine d'aucun polynôme à coe- cients entiers (on dit queeest transcendant).
1. PourF ∈C[X]avec n= deg(F), on dénit D(F) =
+∞
X
k=0
F(k)=
n
X
k=0
F(k).
(a) SoitF ∈C[X]eta∈C. Montrer que eaD(F)(0) =a
Z 1 0
ea(1−t)F(at) dt+D(F)(a).
Indication : On observera que D(F)0 =D(F)−F. (b) SoientQ∈Z[X]etp∈N avec p>2.
On pose F(X) = Q(X)X(p−1)!p−1.
Montrer queD(F)(0)est un entier vériant D(F)(0)≡Q(0) [p]. 2. Pour tout entiern non nul et entierp>2, on note
Fp(X) = Xp−1
(p−1)!×[(X−1)· · ·(X−n)]p.
(a) Montrer que pour tout entier 16k6n,D(Fp)(k) est un entier divisible parp. (b) Par encadrement, montrer que pour tout entier06k6n, lim
p→+∞
Z 1 0
ek(1−t)Fp(kt) dt= 0. 3. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'il existeP ∈Z[X]\ {0}tel P(e) = 0.
On noten= deg(P) et on écritP =a0+a1X+· · ·+anXn.
Quitte à diviserP parX, on ne restreint pas la généralité en supposant a06= 0.
En écrivant la quantitéP(e)D(Fp)(0)à l'aide d'une somme de trois termes, dénicher une contra- diction en utilisant les question précédentes et en choisissant pjudicieusement.
En poursuivant davantage le raisonnent, on pourrait montrer queπ /∈A également.
Partie No3 : A est un sous-corps de C.
Dans cette partie, on démontre que A est un sous-corps de C.
Pour cela, nous aurons besoin d'introduire la notion de résultant.
Par convention, dans cette partie, on note C−1[X] ={0}, et on considère deux polynômes P =
p
X
k=0
akXk∈C[X]etQ=
q
X
k=0
bkXk∈C[X]de degrés respectifsp>1etq >1xés une fois pour toutes.
1. On pose, pour tout (U, V)∈Cq−1[X]×Cp−1[X],fP,Q(U, V) =U P +V Q.
(a) Montrer que l'application fP,Q est linéaire de Cq−1[X]×Cp−1[X]dans Cp+q−1[X].
(b) Montrer quefP,Q est bijective si, et seulement si,P etQ sont premiers entre-eux.
(c) On noteB la base(Xp+q−1, . . . , X,1)de Cp+q−1[X]etC la base
((Xq−1,0),(Xq−2,0), . . . ,(1,0),(0, Xp−1), . . . ,(0,1)) de Cq−1[X]×Cp−1[X]. Donner la matriceMatC,B(fP,Q).
On appelle matrice de Sylvester de(P, Q) la matrice MatC,B(fP,Q) et résultant de (P, Q), noté Res(P, Q), son déterminant.
D'après ce qui précède, on a queP etQsont premiers entre-eux si, et seulement si, Res(P, Q)6= 0. 2. (a) Exprimer Res(X, Q) en fonction deQ.
(b) Exprimer Res(Q, P) en fonction de Res(P, Q).
(c) Exprimer Res(λP, Q)et Res(P, λQ) en fonction de Res(P, Q) pour tout λ∈C.
3. Soitλ∈C. On introduit deux applicationsρλ etσλ : ρλ :
Cp+q−1[X] → Cp+q−1[X]
R 7→ R(X−λ) etσλ :
Cq−1[X]×Cp−1[X] → Cq−1[X]×Cp−1[X]
(U, V) 7→ (U(X+λ), V(X+λ)) (a) Montrer que les applications ρλ etσλ sont linéaires.
(b) Calculerdet(ρλ) etdet(σλ).
(c) Montrer l'égalité Res(P(X−λ), Q(X−λ)) =Res(P, Q)en étudiant la composéeρσ◦fP,Q◦ σλ.
(d) Que vaut Res(X−λ, Q)?
4. (a) Montrer, grâce à un développement à la dernière ligne, l'égalité Res(XP, Q) =Q(0)Res(P, Q). (b) En déduire que pour toutλ∈C, Res((X−λ)P, Q) =Q(λ)Res(P, Q).
(c) On peut noter α1, . . . , αp les racines complexes de P comptées avec multiplicité grâce au théorème de d'Alembert-Gauss.
Montrer que Res(P, Q) =aqp
p
Y
i=1
Q(αi).
5. Soientx, y ∈A. On note P un polynôme à coecients entiers de degrép >1 tel queP(x) = 0 etQun polynôme à coecients entiers de degré q>1tel que Q(y) = 0.
Quitte à simplier P et Q par une certaine puissance de X, on peut supposer que 0 n'est ni racine de P, ni racine de Q.
(a) Montrer que si x est non nul alors 1x ∈A.
(b) Montrer que les fonctions f :z7→ Res(P(X), Q(X+z)) etg :z 7→Res(P(X), Q(zX)) de C dans C sont polynomiales à coecients entiers.
(c) Montrer que le polynôme associés à f n'est pas le polynôme nul.
Montrer de même pour le polynôme associé àg.
(d) Montrer quef(y−x) = 0et que, si xest non nul,g yx
= 0. (e) Montrer que A est un sous-corps de(C,+,×).
Partie No4 : A est dénombrable.
SoitE un ensemble.
On dit queE est au plus dénombrable s'il existe une injection de E dans N.
On dit queE est dénombrable s'il existe une bijection de E dans N.
On dit queE est indénombrable s'il n'est pas au plus dénombrable.
Dénition A : Ensemble au plus dénombrable, dénombrable et indénombrable
On peut montrer et on admettra que N, N2, Z, Zd (pour d∈N?), D et Q sont dénombrables alors que R et C sont indénombrables.
Le but de cette partie est de prouver que A est dénombrable.
1. SoientE etF deux ensembles. Le théorème de Cantor-Bernstein, que l'on propose de démontrer dans cette question, arme que s'il existe une injection de E dans F et que s'il existe une injection deF dansE alors il existe une bijection deE dansF.
(a) SoientE un ensemble etApartie deE. On suppose qu'il existe une injection de E dansA que l'on notef. On souhaite montrer qu'il existe une bijection deE dansA.
On pose X= S
n∈Nfn(Ac) et on note ϕl'application de E dansE dénie par
∀x∈E, ϕ(x) =
f(x) si x∈X, x si x /∈X.
i. Montrer que ϕest à valeurs dans A.
ii. Montrer queX est stable par ϕ.
iii. Montrer que ϕest injective surE.
iv. Montrer queϕinduit une bijection de E dansA.
(b) Utiliser le résultat précédent pour démontrer le théorème de Cantor-Bernstein.
On se donne à présent un ensemble au plus dénombrableI et une famille(Ai)i∈I d'ensembles au plus dénombrables.
Par hypothèse, il existe donc une injectionρ de I dans N et, pour touti∈I, une injection ϕi deAi dans N. PosantU =[
i∈I
Ai, on souhaite montrer queU est lui aussi au plus dénombrable.
Comme ρ est bijective de I dansρ(I), on peut réécrire U en U = [
j∈ρ(I)
Aρ−1(j) grâce au changement d'indicej=ρ(i). Dans cette nouvelle écriture, l'ensemble d'indicesρ(I)est une partie de N alors que I ne l'est pas forcément au départ. Quitte à remplacer la première écriture de U par la seconde, on peut ainsi supposer sans perte de généralité queIest une partie de N. On peut bien sûr aussi supposer queAi est non vide pour tout i∈I.
On pose pour toutx∈U,mx = min(i∈I / x∈Ai) etθ(x) = (mx, ϕmx(x)). 2. (a) Justier la bonne dénition demx pour toutx∈U.
(b) Montrer queθ est injective.
(c) En déduire que U est au plus dénombrable.
On note à présent :
pour toutd∈N, Zd[X]l'ensemble des polynômes à coecients entiers de degré inférieur ou égal àd,
pour tout P ∈Z[X], Rac(P) l'ensemble des racines deP. 3. (a) Que dire de Rac(P) siP ∈Z[X]\ {0}?
(b) Montrer dans cet ordre que les ensembles Zd[X]pour ddécrivant N, puis Z[X]\ {0} puis A sont au plus dénombrables.
(c) En déduire que A est dénombrable.
Partie No5 : A est un Q-espace vectoriel de dimension innie.
1. Montrer que A est un Q-espace vectoriel en montrant qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel d'un Q-espace vectoriel de référence.
Dans cette partie, on note
P l'ensemble des nombres premiers.
Pour toute partie nie A de P, on note ΠA la racine carrée du produit des éléments de A. Autrement dit,ΠA= Y
p∈A
√p. On rappelle que, par convention,Π∅= 1.
Il est essentiel de remarquer que si A et B sont deux parties disjointes et nies de P alors ΠA∪B = ΠA×ΠB.
Pour toute partie nie E de P, on note QE =
X
A∈P(E)
λAΠA / ∀A⊂E, λA∈Q
.
2. Soitp∈P. Montrer que
Q{p} ={a+√
pb / a, b∈Q}.
3. Montrer que si E etF sont deux parties nies de P vériant F ⊂E alors QF ⊂QE. Dans la suite,E désigne une partie nie de P.
4. Montrer que QE ⊂A.
5. Montrer que si E est non vide alors ΠE est un irrationnel.
6. Montrer que QE est un sous-espace vectoriel de dimension nie du Q-espace vectoriel (R,+,·). 7. Dans cette question, on prouve que QE est un sous-corps de (R,+,×).
(a) Prouver que QE est un sous-anneau de(R,+,×).
(b) On va ensuite montrer que QE est un sous-corps de(R,+,×)par récurrence sur n=|E|. i. Montrer que la propriété est vraie au rang initial.
On se donne un entiern>1 et on suppose la propriété vraie au rangn−1. On suppose que|E|=n. On noteq un élément de E et on poseF =E\ {q}. On se donne enn un élément non nulz de QE. Il s'agit de montrer que 1z ∈QE. ii. Montrer le résultat siz∈QF.
On suppose dans la suite quez /∈QF.
iii. Montrer qu'il existe x, y∈QF tels quez=x+√
qy avec x−√
qy6= 0. iv. On notez=x−√
qy.
Montrer quez×z∈QF et conclure.
8. On va prouver par récurrence surn∈N, la propriété P(n) : Soit E ⊂P de cardinal n. Pour toutG⊂P, siG6⊂E alorsΠG∈/QE .
(a) Montrer que la propriété est vraie au rang initial.
On se donne un entiern>1et on suppose la propriété P(n−1)vraie.
Par l'absurde, on suppose P(n) fausse. Ainsi, il existe une partieE de P de cardinal net une partie Gde P non incluse dansE tellesΠG∈QE.
On noteq un élément deE et on pose F =E\ {q}. (b) Montrer qu'il existe x, y∈QF tels que ΠG=x+√
qy ety6= 0. (c) Après élévation au carré, montrer quex= 0.
(d) En discutant selon la présence deq dansG, en déduire une absurdité et conclure.
9. Montrer que si F est une partie nie de P et que sip∈P vériep /∈F alors√
p /∈QF.
10. SoitEune partie nie de P. Montrer que(ΠA)A∈P(E)est une famille libre du Q-espace vectoriel QE.
11. En déduire que A est un Q-espace vectoriel de dimension innie.
Partie No6 : A est algébriquement clos, il s'agit de la clôture algébrique de Q.
Cette partie est plus dicile, vous ne l'aborderez que si toutes les questions précédentes ont été traitées.
Dans cette partie, K,LetH désignent des corps.
On dit que Lest une extension de K et on note L:K si K est un sous-corps de L.
Observons que dans ce cas, Lest un K-espace vectoriel.
On dit que l'extension L:K est nie siLest un K-espace vectoriel de dimension nie.
Soit L:K une extension de corps etx∈L.
On dit que xest algébrique sur K s'il est racine d'un polynôme à coecients dans K.
On dit que l'extension L:K est algébrique, si tous les éléments de Lsont algébriques sur K. 1. SoitK, H, L trois corps.
Montrer que siL:K etH :Lsont nis alors H:K est ni.
2. Montrer qu'une extension de corps ni est algébrique.
3. SoientL:K une extension de corps etA une partie de L.
Montrer qu'il existe un unique plus petit (au sens de l'inclusion) sous-corps deLcontenant à la foisK etA.
On le noteK(A).
SiA={x1,· · ·, xp} alors on note K(A) =K(x1,· · ·, xp) au lieu deK({x1,· · · , xp}). 4. SoientL:K une extension de corps etα∈L.
Dans cette question, on cherche à prouver queαest algébrique surKsi, et seulement si,K(α) :K est nie.
Le sens indirect ayant établi dans la question 2., on cherche à prouver le sens direct.
On suppose que αalgébrique.
(a) Montrer qued= min{deg(P) / P ∈K[X]\ {0} etP(α) = 0}existe.
Notons Pmin un polynôme de degré dvériant Pmin ∈K[X]\ {0} etPmin(α) = 0.
(b) Montrer quePmin est irréductible sur K.
(c) Montrer que{P ∈K[X]/ P(α) = 0}={Pmin×Q / Q∈K[X]}.
(d) Montrer queK[α] ={P(α) / P ∈K[X]} est un sous-corps deL contenantK et{α}. En déduire que K(α) =K[α].
(e) Montrer queK(α) :K est nie.
5. SoientL:K une extension de corps etA={x1,· · · , xn} est une partie nie deL.
Montrer queK(x1,· · ·, xn) =K(x1,· · ·, xn−1)(xn).
6. SoientL:K une extension de corps etA est une partie nie deL.
Montrer que tous les éléments de A sont algébriques sur K si, et seulement si, K(A) : K est nie.
7. En déduire que A est algébriquement clos, c'est-à-dire que tout polynôme non constant de A[X]
admet au moins une racine dans A.
* * * FIN DU SUJET * * *
