Montrer que Q= (Q∩R)(i)

Université Pierre & Marie Curie M1 de Mathématiques

MM002 (Algèbre et théorie de Galois) Automne 2012

TD n^◦1b.

Exercice 1. SoitQla clôture algébrique de QdansC. Montrer que

Q= (Q∩R)(i).

Solution. On ai∈Qet (Q∩R)⊂R, donc (Q∩R)(i)⊂Q.

Réciproquement, soitz ∈Q. Comme tout nombre complexe, il s’écrit,z =a+ibaveca, b∈R. Montrons que a, b∈Q. SoitP ∈Q[X] un polynôme annulateur non nul dez; AlorsP(¯z) =P(z) = 0, donc ¯zest algébrique.

Donca= ^z+¯₂^z est aussi algébrique etb=−i(z−a) aussi. Doncz∈(Q∩R)(i).

Exercice 2. Montrer que P =X³−X+ 1 est irréductible surQ. Soitαune racine deP dansC. Quel est le degré deQ(α) surQ? Exprimer l’inverse deβ=α²−α+ 1 dans la familleQ-libre (1, α, α²).

Solution. Comme P est de degré 3, il suffit de vérifier que P n’a pas de racines dans Q. Si z est une telle racine, elle s’écrit z= ^p_q avecpet qpremiers entre eux. Alorsp³−3pq²+q³= 0 et doncq³=p(3q²−p²) est divisible parp. Commepetqsont premiers entre eux,pest inversible. De mêmep³=q(3pq−q²doncqdivise p³, doncqest aussi inversible. Doncz= 1 ou−1, qui ne sont ni l”une ni l’autre solutions. Donc [Q(α) :Q] = 3.

On applique l’algorithme d’euclide

0 =α³−α+ 1 = (α+ 1)β−α, β=α(α−1) + 1,

Donc en remplaçantαdans la deuxième ligne par sa valeur dans la première ligne, on trouve 1 =β−α(α−1) = β(1−(α−1)(α+ 1) =β(2−α²). Doncβ⁻¹= 2−α².

Exercice 3. SoitIun idéal d’un anneau (commutatif unitaire)A.

Montrer queI est un idéal premier si et seulement siA/I est intègre.

Montrer queI est un idéal maximal si et seulement siA/I est un corps.

Solution. Si I est premier, soit ¯a,¯b∈ A/I tels que ¯a¯b = 0. En prenant des préimagesa,b de ¯a,¯b dansA, on obtientab∈I , donca∈I(et donc ¯a= 0) oub∈I(et donc ¯b= 0).

Réciproquement, siA/I est intègre, soienta, b∈Atels queab∈I. Alors ¯a¯b= 0, donc ¯a= 0 (et donca∈I) ou

¯b= 0 (et doncb∈I).

.

Si I est un idéal maximal, soit ¯x non nul dans A/I. ALors une préimage x dans A n’est pas dans I. Par maximalité deI, I+Ax=A, donc 1 =z+xx⁰ avecz∈I et x⁰ ∈A. Donc ¯x¯x⁰= 1, etA/I est bien un corps.

Si A/I est un corps. SoitJ 6=I un idéal contenant I. Soit x∈J\I. Alors ¯xest inversible dans A/I et soitx⁰ une préimage de cet inverse. On a xx⁰−1∈I ⊂J. Comme xx⁰ ∈J, on obtient 1∈J et doncJ =A, ce qui prouve la maximalité deJ.

Exercice 4. Montrer que la sous-variété deC² définie par l’équationX²=Y³est irréductible.

Solution. On a un morphisme d’anneau injectifC[X, Y]/(X²−Y³)→C[T], qui envoieX surT³etY surT². DoncC[X, Y]/(X²−Y³) est intègre en tant que sous-anneau d’un anneau intègre. Donc la sous-variété est bien irréductible.

Exercice 5. Montrer que la sous-variétéV deC³définie par les deux équationsXZ=X et X²=Y Z a trois composantes irréductibles.

Solution. La première équation équivaut à X = 0 ouZ = 1. SiX = 0 la seconde équation équivaut à Y = 0 oùZ = 0. DoncV ={X = 0, Y = 0} ∪ {X = 0, Z = 0} ∪ {Z = 1, X² =Y}et aucune de ces trois composante n’est contenue dans l’union des deux autres. Montrons qu’elles sont bien irréductibles.

On a C[X, Y, Z]/(X, Z)'C[Y], qui est intègre, donc {X = 0, Y = 0} est irréductible. De même pour {X = 0, Z= 0}.

On a C[X, Y, Z]/(Z−1, X²−Y)'C[X], en envoyantX sur X,Y surX² etZ sur 1. Donc{Z= 1, X²=Y} est aussi irréductible.

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Exercice 6. Montrer que la sous-variétéV deC³définie par les deux équationsXZ=Y² etX³=Y Z a deux composantes irréductibles : les ensemblesV1={(0,0, t), t∈C}et V2={(t³, t⁴, t⁵), t∈C}.

Solution. On vérifie facilement que V = V1 ∪V2 et que V1 et V2 ne se contiennent pas l’un l’autre. Or V₁={X = 0, Y = 0}est une sous-variété irréductible.

On aV₂=V(I) avecI= (Y³−X⁴, Y⁵−Z⁴, X⁵−Z³). En effet si (x, y, z)∈V(Y³−X⁴, Y⁵−Z⁴), soitt une racine cubique de x. On obtient alors y³ =x⁴ =t¹². Doncy =t⁴ω oùω³ = 1. En remplaçant t partω², on obtientx=t³ety=t⁴. Alorsz⁴=y⁵=t²⁰ etz⁵=t²⁵ donczt⁻⁵ est une racine quatrième et cinquième de 1 : doncz=t⁵. DoncV₂ est une variété algébrique.

On a un morphisme f : C[X, Y, Z] → C[T] qui envoie X sur T³, Y sur T⁴ et Z sur T⁵. Si f(P) = 0, alors P(T³, T⁴, T⁵) = 0 donc P s’annule surV2, doncP ∈√

I d’après le nullstellensatz. Donc I ⊂kerf ⊂√ I. Or kerf est premier puisqueC[T] est intègre. Ce qui prouve queV2 est irréductible.

Exercice 7. Étant donnéI un idéal d’un anneauA, on note √

I son radical (ou sa racine). SoientI, J et L des idéaux de A, montrer les assertions suivantes :

a) si I⊂J, alors√ I⊂√

J, b) √

I·J=√ I∩J, c) √

I∩J =√ I∩√

J, d) p√

I=√ I,

e) si pest un idéal premier, alors√ p=p, f) √

I+√ J ⊂√

I+J, g) √

I+J =p√

I+√ J, h) p

(I∩J) + (I∩L) =p

I∩(J+L),

i) soient (pi)1≤i≤n des idéaux premiers de A, supposons que

I⊂

n

\

i=1

pi⊂√ I,

montrer que

√ I=

n

\

i=1

pi.

Solution. a) Sifⁿ∈I,fⁿ∈J et doncf ∈√ J.

b) CommeIJ⊂I∩J,√

I·J ⊂√

I∩J d’aprèsa). Réciproquement sifⁿ∈I∩J, alorsf²ⁿ=fⁿ·fⁿ∈I·J et doncf ∈√

I·J. c) I∩J ⊂I, donc √

I∩J ⊂√

I, d’après a). De même, √

I∩J ⊂√

J, donc √

I∩J ⊂√ I∩√

J. Récipro- quement, sifⁿ ∈Iet f^m∈J, alorsf^max(m,n)∈I∩J et doncf ∈√

I∩J. d) Sifⁿ∈√

Ialors, il existe mtel que (fⁿ)^m∈I. Commef^nm∈I,f ∈√

I. La réciproque est évidente.

e) Sifⁿ=f· · · · ·f ∈p, alorsf ∈pcarp est premier.

f) On a√ I,√

J ⊂√

I+J d’après a), donc√ I+√

J ⊂√

I+J. En appliquanta) àf), puisd), on obtient p√I+√

J ⊂√ I+J. Réciproquement, I ⊂√

I et J ⊂ √

J, doncI+J ⊂√ I+√

J. En appliquant a), on obtient l’inclusion voulue.

g) On aI∩J, I∩L⊂I∩(J+L) doncp

(I∩J) + (I∩L)⊂p

I∩(J+L) en appliquant a).

Réciproquement, Sifⁿ ∈I∩(J+L), alors fⁿ = j+l avecj ∈ J et l ∈ L. Alorsf²ⁿ =jfⁿ+lfⁿ et jfⁿ ∈I∩J etlfⁿ∈I∩L. Doncf ∈p

(I∩J) + (I∩L).

h) En appliquanta) on obtient √

I⊂pTn

i=1p_i. OrpTn

i=1p_i=Tn i=1

√p_i =Tn

i=1p_i d’aprèsc) ete). Donc

√I⊂Tn

i=1pi et l’autre inclusion est vraie par hypothèse.

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