† † † † † † * † * † z 2 2 † []= () Q Q S P P R ( R ) []= [] []= [] Δ Δ Δ Q Q P Δ P 1 () () Er z z Q , P , t 2 i a A A R R ( ( R R , , ) ) = R SaS , S ( R = ) a + R , a , A ( R ) = Sa S = a + a ⎧⎨⎩⎫⎬⎭ () Q = a + a (partie réelle de l'amplitude) i ⎡⎣⎤⎦ A ,

PHY  3320     15  février  2011   Exercices,  série  4,  page  1  sur  1    

 

1. Montrez  explicitement  qu’il  n’y  a  pas  d’états  propres  de  l’opérateur  de  création  a^†.    

2. Soit  l’opérateur  h=e^iφ = 1

N+1a  introduit  dans  le  problème  6  de  la  série  3.  Trouvez   ses  états  propres   z ,  de  valeur  propre  z,  en  termes  des  états  nombres.  Y  a-­‐t-­‐il  une   restriction  sur  les  valeurs  que  peut  prendre   z?  

 

3. «  Lumière  comprimée  »  (voir  D2T1C2A)    

Note  :  On  se  limite  dans  ce  problème  au  cas  monomode.  Les  indices  seront  omis.    

 

Soient  les  opérateurs  _Q  et  P  définis  par  :    

Q=a^†+a (partie réelle de l'amplitude) P=i a

(

^†−a

)

(partie imaginaire)    

a) Montrez  que  

[

Q,P

]

⁼²ⁱ.  Que  peut-­‐on  en  conclure  sur  ΔQΔP?   b) Que  valent  ΔQ  et  ΔP  dans  le  cas  d’un  état  cohérent?  

c) Écrivez  l’opérateur  champ  électrique  E r,t

( )

 en  termes  de  Q  et  P.    

Soit  maintenant  l’opérateur  de  «  compression  »  S(R)  :    

S(z)=exp 1

2R a

(

²−a^{† 2}

)

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭,      

où  R  est  un  nombre  réel,  et  des  opérateurs  de  pseudo-­‐annihilation  et  pseudo–création  :    

A(R)=SaS^†=µa+νa^† , A^†(R)=Sa^†S^† =µ^*a^†+ν^*a .    

d) Trouvez  des  expressions  pour  µ  et  ν  .   e) Que  vaut  le  commutateur  ⎡⎣A,A^†⎤⎦?  

 

Introduisons  maintenant  les  états  comprimés  :      

[ ]

R,α ^=S(R)α    

f) Montrez  que  A(R)

[ ]

R,α ^=α

[ ]

^R,α  

g) Trouvez  des  expressions  pour  

( )

ΔQ ^{2  et}  

( )

^{ΔP 2}  pour  l’état  comprimé  

[ ]

R,α ^.   Interprétez  votre  résultat.