Montrer que Res(Q, P

Universit´e Paris Diderot Alg`ebre – Ann´ee 2017-18 M1 math´ematiques

Feuille 5

R´esultant, Discriminant, Polynˆomes sym´etriques

1. SoitK un corps. SoientP,Q∈K[X] unitaires.

1.a. NotonsRle reste de la division euclidienne deP parQ. Montrer que Res(Q, P) = Res(Q, R).

1.b. SoitT ∈K[X] de degr´et. Montrer que Res(P◦T, Q◦T) = Res(P, Q)^t. Calculer Res(X⁶−1, X⁹+ 1).

1.c. Soientaetbdeux ´el´ements d’une extension alg´ebriqueLdeK. NotonsAetB les polynˆomes minimaux respectifs deaetbsurK. Montrer que le polynˆome minimal dea+best un facteur de Res_Y(A(X−Y), B(Y)).

1.d. Soitaune racine dansCdeX³+X+ 1 etbune racine primitive 8-`eme de l’unit´e dansC. Calculer le polynˆome minimal dea+b.

2. SoitK un corps. SoitP ∈K[X] un polynˆome de degr´enet de coefficient dominantan. Lediscriminant

∆P deP est par d´efinition la quantit´e (−1)^n(n−1)/2Res(P, P⁰)/an.

2.a. Calculer le discriminant des polynˆomesaX²+bX+c etX³+aX+b.

2.b. Montrer que le discriminant du polynˆomeXⁿ−1 est (−1)(n−1)(n−2)/2nⁿ. 2.c. Si P est scind´e de racines α1, α2...αn, montrer que ∆P =a²ⁿ⁻²_n Q

i<j(αi−αj)². En d´eduire que ∆P

est nul si et seulement siP admet des racines multiples.

2.d. Montrer que ∆P est un polynˆome `a coefficients dansKena0,a1... an, et donc un polynˆome sym´etrique enα1,α2...αn. Montrer que c’est le carr´e d’un polynˆome altern´e enα1,α2...αn.

2.e. Soitkun entier≥1. Montrer que ∆_P(Xk)=−(−1)^n2k(k+1)/2k^kna^k−1_n ∆^k_PP(0)^k−1. 2.f. SoitQ∈K[X] unitaire. SupposonsP unitaire. Montrer que ∆_{P Q}= ∆_P∆_QRes(P, Q)².

2.g. Montrer qu’on a, pourP(X) =Xⁿ+aX+b, ∆_P = (−1)^n(n−1)/2(nⁿbⁿ⁻¹+ (−1)ⁿ⁻¹(n−1)ⁿ⁻¹aⁿ).

2.h. Montrer que le nombre premierp6= 2 (resp. p= 2) divise ∆Φn si et seulement sip|n(resp. 4|n).

2.i. Soitpun nombre premier≥1. D´eterminer le discriminant du polynˆome cyclotomique Φp.

2.j. Sipne divise pasn(resp. p|n), montrer que Φpn(X) = Φn(X^p)/Φn(X) (resp. Φpn(X) = Φn(X^p)).

2.k. Soitmun entier>2 premier `an. Montrer que Res(Φn,Φm) = 1.

2.l. Montrer que, sin >2, le discriminant de Φn est (−1)^φ(n)/2n^φ(n)/Q

p|np^{φ(n)/(p−1)} (ppremier).

3. SoitKun corps. Soitnun entier≥1. NotonsK[X]_n leK-espace vectoriel des polynˆomes nul ou de degr´e

≤n. Les matrices 2×2 `a coefficients dansKet de d´eterminant 1 forment un groupe pour la multiplication not´e SL₂(K). Ce groupe est engendr´e par l’ensemble {

1 x 0 1

/x∈K} ∪ { 1 0

x 1

/x∈K}.

3.a. Montrer que SL2(K) op`ere `a droite surK[X]n par a b

c d

.P(X) = (cX+d)ⁿP((aX+b)/(cX+d)).

3.b. Montrer que pour toutg∈SL2(K), on a ∆g.P = ∆P (On pourra le montrer pour les g´en´erateurs).

4. SoitKun corps. Soitkun sous-corps deKtel queKest unk-espace vectoriel de dimensionn. Soitx∈K.

On noteM_x: K→K la multiplication parx. C’est une applicationk-lin´eaire. On poseN(x) = det(M_x).

4.a. SoitP le polynˆome minimal dexsurk. Montrer que son degr´e, not´em. divisen. On posen=pm.

4.b. Notonsa0 le terme constant deP. Montrer queN(x) = (−1)ⁿa^p₀. Plus g´en´eralement on montrera que le polynˆome caract´eristique deMx estP^p.

4.c. Supposons que m =n. Soit L un corps de d´ecomposition de P tel que P(X) = Qn

i=1(X−xi) dans L[X]. Montrer queN(x) =Qn

i=1xi.

4.d. Soity∈K. Montrer quey=Q(x) avecQ∈k[X] et en d´eduire queN(y) =Qn

i=1Q(xi).

4.e. On poseD(P) =Q

i6=j(xi−xj).Montrer queD(P)∈k. Soity=P⁰(x). Montrer queD(P) =N(y).

5. SoitK un corps. SoientP et Q∈K[X, Y] premiers entre eux et de degr´esdet erespectivement.

5.a. Montrer que le r´esultant ResY(P, Q) est un polynˆome enX de degr´e≤de.

5.b. En d´eduire que la courbe plane d’´equationP(x, y) =Q(x, y) = 0 a au plusdepoints dansK². 5.c. PosonsP =X²−XY +Y²−1 etQ= 2X²+Y²−Y −2. Calculer le r´esultant ResY(P, Q).

5.d. D´eterminer les points d’intersection des ellipses d’´equationsP = 0 etQ= 0.

6. Soitnun entier≥1. PosonsP = (X−1)ⁿ−(Xⁿ−1)∈C[X].

6.a. D´eterminer les racines deP⁰.

6.b. Pour quelles valeurs denle polynˆomeP admet-il une racine multiple ?

7. On dit qu’un nombre complexe est unentier alg´ebriques’il existeP ∈Z[X] unitaire tel queP(x) = 0.

7.a. SoientP,Q∈Z[X] unitaires. Montrer que ResX(P(X+Y), Q(X)) est unitaire dansZ[Y].

7.b. Montrer que la somme de deux entiers alg´ebriques est un entier alg´ebrique.

7.c. Montrer que le produit de deux entiers alg´ebriques est un entier alg´ebrique.

7.d. L’anneau des entiers alg´ebriques est-il int`egre, principal, factoriel, noeth´erien, artinien ?

8. Exprimer les polynˆomes sym´etriques suivants en fonction des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires : X³+Y³+Z³, X²Y +XY²+X²Z+XZ²+Y²Z+Y Z², X²Y Z+XY²Z+XY Z²,X⁴+Y⁴+Z⁴. 9.a. Soienta,b,c∈C. Montrer qu’ils sont en progression arithm´etique (resp. g´eom´etrique) si et seulement si 27abc= (a+b+c)(9(ab+bc+ac)−2(a+b+c)²) (resp. (ab+ac+bc)³=abc(a+b+c)³).

9.b. Soientα,β,γ,δ∈Cles racines deX⁴+X+ 1. Calculer 1/(α−1) + 1/(β−1) + 1/(γ−1) + 1/(δ−1).

9.c. Soientα,β,γ les racines deX³+ 2X²−2X+ 5. Trouver un polynˆome deZ[X] de racinesα³,β³,γ³. 9.d. SoitP =X³+ 2X²+ 3X+ 4∈Q[X]. Notonsα,β,γ ses racines complexes. D´eterminer le polynˆome unitaire de degr´e 3 dont les racines sontα+β,β+γet α+γ.

9.e. SoitP=X³+X+ 1∈Q[X]. Notonsα,β,γses racines complexes. Calculerα+β+γ,α²+β²+γ², α³+β³+γ³ et, en calculant la division euclidienne deX⁴parP,α⁴+β⁴+γ⁴.

10. SoitK un corps. SoitP ∈K[X] sans facteur multiple.

10.a. SoitQ∈K[X] un polynˆome sans facteur multiple premier `aP. Montrer que le discriminant de P Q est un carr´e dansK si seulement si le produit des discriminants deP et Qest un carr´e dansK. Rappelons qu’il se d´ecompose en produits de facteurs irr´eductibles de degr´es 1 ou 2 dansR[X].

10.b. SupposonsP ∈R[X]. Rappelons qu’il se d´ecompose en produits de facteurs irr´eductibles de degr´es 1 ou 2 dansR[X]. SoitQ∈R[X] un polynˆome irr´eductible de degr´e 2 (resp. 1) premier `aP. Montrer que le discriminant deP Qest de signe oppos´e (resp. ´egal) `a celui du discriminant deP.

10.c. Supposons encore P ∈ R[X]. En d´eduire que le discriminant de P est > 0 si et seulement la d´ecomposition deP dansR[X] comprend un nombre pair de facteurs de degr´e 2.

10.d. Soitpun nombre premier6= 2. Supposons queP ∈Fp[X]. Montrer que siP est irr´eductible de degr´e impair (resp. pair) le discriminant deP est (resp. n’est pas) un carr´e dansFp.

10.e. Supposons que P ∈ Fp[X]. Montrer que le discriminant de P est un carr´e si et seulement si la d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles deP comprend un nombre pair de facteurs de degr´e pair.

11. SoitP ∈R[X] tel que pour touta,b,c∈Rtel queab+ac+bc= 0 on aitP(a−b) +P(b−c) +P(c−a) = 2P(a+b+c).

11.a. Trouvera, b,c non nuls dansZtels que ab+ac+bc= 0.

11.b. En consid´erant les tripletsax,bx,cxpourx∈R, montrer queP est somme d’un monˆome de degr´e 2 et d’un monˆome de degr´e 4.

12. Trouver tous les polynˆomesP ∈R[X] tels que pour tout r´eelsa,b,c, on ait : P(a+b−2c) +P(b+c− 2a) +P(c+a−2b) = 3(P(a−b) +P(b−c) +P(c−a)).

13. SoitKun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et 3. Consid´erons le polynˆomeP=X³+pX+q∈K[X].

Supposons-le scind´e et notonsα,β etγses racines. On se propose de d´eterminer ces racines en fonctions de pet q. On suppose queK contient une racine cubique primitive de l’unit´ej.

13.a. SoitQ∈K[X] de degr´e 3. Montrer qu’il existea∈K^∗ et b∈K tel queQ(aX+b) ait un coefficient du second degr´e nul.

13.b. Posons R_j(X₁, X₂, X₃) = (X₁+jX₂+j²X₃)³ ∈ K[X₁, X₂, X₃]. Montrer que l’orbite de R_j sous l’action du groupe sym´etrique S3contient deux ´el´ements : Rj et un autre ´el´ement qu’on noteraR_j2. 13.c. Montrer que les polynˆomes Rj +R_j2 et RjR_j2 sont sym´etriques. Les exprimer en fonctions des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.

13.d. Posonsu=Rj(α, β, γ)∈Ket v=R_j2(α, β, γ)∈K. Exprimeru+v etuv en fonction depetq.

13.e. Exprimerα, β etγ en fonction deuetv.

14. SoitKun corps de caract´eristique diff´erente de 2 et 3. SoitP =X⁴+aX²+bX+c∈K[X]. Supposons-le scind´e de racinesα1,α2, α3,α4. On se propose de d´eterminer ces racines en fonctions dea,bet c.

14.a. Consid´eronsX1X2+X3X4∈K[X1, X2, X3, X4]. Montrer que l’orbite de ce polynˆome sous l’action du groupe sym´etriqueS4 contient trois ´el´ements not´esU,V et W.

14.b. ´Etablir que le coefficient enX du polynˆomeR(X) = (X−U)(X−V)(X−W)∈K[X1, X2, X3, X4][X] est sym´etriques enX₁,X₂,X₃,X₄. Exprimer ce coefficient en terme des polynˆomes sym´etriques ´el´ementaires.

14.c. Exprimerα1,α2, α3 etα4 en fonction deU(α1, α2, α3, α4),V(α1, α2, α3, α4) et W(α1, α2, α3, α4).

14.d. Conclure `a l’aide de l’exercice pr´ec´edent.

15. Soitnun entier>0. NotonsEn l’ensemble des polynˆomes de Z[X] unitaires de degr´enet dont toutes les racines sont de module 1.

15.a. Soitζ une racine de l’unit´e dansC. Montrer que toutes les racines de son polynˆome minimal surQ sont de module 1.

15.b. Montrer queEn est fini.

15.c. PourP ∈En de racinesx1, x2...xn, on noteP2 le polynˆome unitaire de racinesx²₁, x²₂....x²_n. Montrer queP2∈Z[X].

15.d. En d´eduire que les racines deP sont des racines de l’unit´e.

15.e. `A quelle condition sur le nombre r´eel xexiste-t-ilP ∈Z[X] unitaire tel que P(e^2iπx) = 0.

16. SoitK un corps. SoientP,Q∈K[X] deux polynˆomes non constants ayant les mˆemes racines. Notons p0et p1 le nombre de racines deP et P−1 respectivement. Supposons queP −1 etQ−1 aient eux aussi les mˆemes racines. Notonsnle degr´e deP et supposons que le degr´e deQest≤n.

16.a. Montrer que le polynˆomeP−Qadmet au moinsp0+p1racines.

16.b. Montrer queD₀= pgcd(P, P⁰) etD₁= pgcd(P−1, P⁰) sont de degr´esn−p₀etn−p₁respectivement.

16.c. Montrer queD₀D₁ diviseP⁰. En d´eduire quep₀+p₁> n, puis queP =Q.

17. Soitndes entiers ≥1. Soit K un corps. Consid´erons des n-uplets (ai)1≤i≤n et (bj)1≤j≤n desn-uplets dansKⁿ. On suppose que la quantit´eQ

i(b_j−a_i) ne d´epend pas dej. Notons-lac.

17.a. PosonsA=Q

i(X−a_i) etB=Q

j(X−b_j) dansK[X]. Montrer queA−c=B.

17.b. En d´eduire que la quantit´eQ

j(bj−ai) ne d´epend pas dei.

18. SoitK un corps de caract´eristique 6= 2. Soitnun entier>0. Posons A=K[T1, ..., Tn]. Consid´erons la matrice (T_i^j−1)_1≤i,j≤n∈Mn(A). NotonsV son d´eterminant (dit deVandermonde). SoitP ∈A. On dit que P ∈Aestaltern´esi l’action du groupe sym´etriqueSn surP est donn´ee par la formuleσ(P) = sgn(σ)P.

18.a. Soientiet j ∈ {1, ..., n} deux entiers distincts. Notonsφi,j l’homorphisme d’anneauxA→Atel que φi,j(Tk) = Tk si k 6= j et φi,j(Tj) = Ti. Montrer que le noyau de φi,j est l’id´eal principal engendr´e par Ti−Tj. Montrer que tout polynˆome altern´e est dans le noyau deφi,j.

18.b. Montrer queTi−Tj diviseV dansA(1≤i, j≤n,i6=j) puis que V =Q

i<j(Tj−Ti).

18.c. Soienti, i⁰,j et j⁰ ∈ {1, ..., n} tels que {i, j} 6={i⁰, j⁰}. Montrer qu’on a les ´egalit´es d’id´eaux deA : (Tj−Ti)∩(Tj⁰−Ti⁰) = (Tj−Ti)(Tj⁰−Ti⁰). En d´eduire l’´egalit´e d’id´eaux deA : (V) =∩i<j(Ti−Tj).

18.d. MontrerP est altern´e si et seulement si il existe un polynˆome sym´etrique Q∈Atel queP =QV. 18.e. Montrer quePest invariant sous l’action du groupe altern´eAnsi et seulement si il existe des polynˆomes sym´etriquesQet R∈A tels queP =QV +R.

18.f. Cette derni`ere propri´et´e est-elle encore v´erifi´ee si la caract´eristique deK est 2 ?

19. Soitrun entier>0. Unepartition de longueurrestr-uplet d´ecroissant d’entiers>0. Siλ= (λ1, λ2...λr) est une telle partition, on dit que |λ| =λ1+λ2+...+λr est lepoids de λ. On note Π(r) l’ensemble des r-upletsλ= (λ1, λ2...λr) tels qu’il existes≤ravec (λ1, λ2...λs) partition de longueurs. On note Π⁺(r) les r-uplets de Π(r) qui sont strictement d´ecroissants.

Soitnun entier≥1. On rappelle que l’anneau factorielZ[X1, X2...Xn] est muni de l’action du groupe sym´etrique Sn. On note (σ) la signature d’une permutationσ∈ Sn. Un polynˆomeP en nind´etermin´ees est ditaltern´esi on a σ.P =(σ)P pour toutσ∈ Sn. On noteAn l’ensemble des polynˆomes altern´es.

19.a. SoitP∈An. Montrer quePest divisible parXi−Xj(i,j, 1≤i < j≤n). PosonsA=Q

i<j(Xi−Xj).

19.b. Montrer queAn est un module sur l’anneau des polynˆomes sym´etriques engendr´e parA.

19.c. Soit R ∈Z[X1, X2...Xn] un polynˆome invariant sous l’action des permutations paires mais pas sous Sn. Montrer que l’orbite deR sousSn comprend deux ´el´ements, not´esRet S.

19.d. Montrer queR+S est sym´etrique et queR−S est altern´e.

19.e. Le polynˆomeRest-il de la formeP+AQavecP etQsym´etriques ?

19.f. Soitλ= (λ₁, λ₂...λ_r)∈Π(r). PosonsA_λ =|X_i^λj|1≤i≤r,1≤j≤n ∈Z[X₁, X₂...X_r]. Montrer queA_λ∈A_n est homog`ene de degr´e|λ|. Que se passe-t-il lorsqueλ /∈Π⁺(r) ?

19.i. Posonsρ= (r−1, r−2...1,0)∈Π(r). FactoriserAρ.

19.j. Pourkentier 0≤k≤n, posonsρk = (r, r−1, ..., k+ 1, k−1, ...1,0). CalculerAρ_k. 19.k. Montrer que (Aλ)_λ∈Π+(r) est une base duZ-moduleAn.

19.l. Pourλ∈Π(r), montrer queAλ/Aρ est sym´etrique.

19.m. Montrer que l’application Π(r)→Π⁺(r) qui `a λassocieλ+ρest bijective.

19.n. Pourλ∈Π(r), le polynˆomeAλ+ρ/Aρ s’appelle la fonction de Schurde λ. Montrer que les fonctions de Schur constituent une base des polynˆomes sym´etrique deZ[X1, X2...Xr].

20. Soit K un corps commutatif. Soit n un entier> 0. Consid´erons L = K((Ai,j)1≤i,j≤n,(Bi,j)1≤i,j≤n) (corps des fractions rationnelles en 2n² ind´etermin´ees).

20.a. Consid´erons les matricesA= (A_i,j)_1≤i,u≤n, B = (B_i,j)_1≤i,u≤n ∈M_n(L). Donner leurs d´eterminants et montrer que ces derniers sont non nuls. Les matricesAetB sont-elles inversibles dans M_n(L) ?

20.b. SoientM,N ∈M_n(L) inversibles. Montrer que les matricesXI_n−M N,XI_n−N M ∈M_n[L(X)] sont conjugu´ees. En d´eduire que les polynˆomes caract´eristiques deM N et deN M sont ´egaux.

20.c. Montrer que le polynˆome caract´eristique deAB appartient `a K[(A_i,j)_1≤i,u≤n,(B_i,j)_1≤i,u≤n, X], puis que le polynˆome caract´eristique deABest ´egal au polynˆome caract´eristique deBA.

20.d. SoitA0= (αi,j)_1≤i,j≤n et B0 = (βi,j)_1≤i,j≤n ∈Mn(K). Montrer que les polynˆomes caract´eristiques deA0B0etB0A0 sont obtenus en ´evaluant les polynˆomes caract´eristiques deABetBArespectivement. En d´eduire que les polynˆomes caract´eristiques deA0B0 etB0A0 sont ´egaux.

21. SoitK un corps de caract´eristique 0. Soitnun entier≥0. SoientA,B∈Mn(K),

21.a. Soient P, Q∈K[X] unitaires, de degr´en, scind´es de racinesλ1,λ2...λn et µ1,µ2...µn respectivement.

Montrer que si, pour tout entieri, 0≤i≤n, on aPn

j=1λⁱ_j =Pn

j=1µⁱ_j, on aP =Q.

21.b. Supposons que pour tout i∈ {1,2...n}, Aⁱ et Bⁱ aient mˆeme trace. Montrer queA et B ont mˆeme polynˆome caract´eristique.

21.c. SupposonsAⁱ de trace nulle (i∈ {1,2...n}). Montrer queAest nilpotente.

21.d. SupposonsAⁱ de trace nulle (i∈ {1,2...n−1}). Montrer queAest nilpotente ou diagonalisable.

22. SoitK un corps. Soitnun entier≥1. SoitF ∈K(X1, X2...Xn) une fraction rationnelle sym´etrique.

22.a. Montrer queF peut s’´ecrire comme une fraction rationnelle en Σ1, Σ2...Σn.

22.b. Montrer que les fractions rationnelles sym´etriques constituent un sous-corps L de K(X1, X2...Xn) isomorphe `aK(X1, X2...Xn).

22.c. Les ´el´ementsX1,X2... Xn sont-ils alg´ebriques surL. Donner les polynˆomes minimaux.

22.d. L’extensionK(X₁, X₂...X_n)|Lest-elle alg´ebrique ? Finie ?

23. Soitn un entier≥1. SoitKun corps alg´ebriquement clos. SoientF₁,F₂... F_m∈K[X₁, X₂...X_n] sans z´ero commun. On va montrer Z_n par r´ecurrence surn : il existeH₁,H₂... H_m∈K[X₁, X₂...X_n] tels que 1 =F₁H₁+F₂H₂+...+F_mH_m(Version faible duth´eor`eme des z´eros, ou encoreNullstellensatz, de Hilbert).

23.a. Montrer Z1.

23.b. SoitP ∈K[X1, X2...Xn] non nul de degr´ed. Montrer qu’il existe (a1, a2...a_n−1)∈Kⁿ⁻¹ , c∈K et Q∈K[X1, X2...Xn] de degr´e< denXn tel queP(X1+a1Xn, ...X_n−1+a_n−1Xn, Xn) =cX_n^d+Q.

23.c. Montrer qu’on peut se ramener au cas o`uF1 est unitaire pour le montrerZn en supposant Z_n−1 23.d. PosonsG(Y, X1, X2...Xn) =F2+Y F3+...+Y^mF_m−2 ∈K[Y, X1, X2...Xn]. Montrer qu’il existe A, B∈K[Y, X1, X2...Xn] tels que ResX_n(F1, G) =AG+BF1.

23.e. Posons ResX_n(F1, G) = Pk(X1, X2..., Xn−1)Y^k +...+P0(X1, X2..., Xn−1). Montrer que P0, P1...Pk

n’ont pas de z´ero commun, et engendre donc un sous-module contenant 1, par hypoth`ese de r´ecurrence.

23.f. Montrer que les polynˆomesP0, P1...Pk sont dans l’id´eal engendr´e parF1,F2... Fm. En d´eduire Zn. 23.g. Soit I un id´eal de K[X1, X2...Xn]. Posons V(I) = {(x1, ..., xn) ∈ Kⁿ/f(x1, ..., xn) = 0(f ∈ I)}.

Soit g ∈ K[X₁, X₂...X_n] s’annule sur V(I). Introduisons l’ind´etermin´ee suppl´ementaire X₀. Montrer que les polynˆomes F₁, F₂... F_m, 1−X₀g ∈ K[X₀, X₁, X₂...X_n] sont sans z´ero commun. En d´eduire que si g∈K[X₁, X₂...X_n] s’annule sur V(I), il existe un entierk >0 tel queg^k ∈I(v´eritable th´eor`eme des z´eros).