les images respectives de P et Q. Montrer que

Universit´ e Paris 13 L3 Alg` ebre et g´ eom´ etries

Feuille de TD 4

Exercice 1. — Soient P et Q des points distincts du centre A d’une inversion i ; on note P

, Q

les images respectives de P et Q. Montrer que

QP A [ = AQ \

P

.

— Soit i une inversion de centre A ; pour des points M, N distincts de A et d’images respectives M

, N

par i, montrer que les triangles AM N et AN

M

sont semblables.

— Pour R ∈ (AQ) d’image R

par i, montrer que QP R [ = − Q \

P

R

.

— Soit i l’inversion de centre A et de puissance ρ

. Pour des points M, N distincts de A, d’images respectives M

, N

par i, montrer que

M

N

= ρ

M N AM × AN ·

P

P’

Q R R’ Q’

O

Figure 1 – Inversion et triangles semblables

Exercice 2. Montrer le th´ eor` eme de Ptol´ em´ ee suivant. ’Etant donn´ es un triangle ABC et P un point du plan, on a

CP × AB ≥ AP × BC + AC × BP,

avec ´ egalit´ e si, et seulement si, le point P appartient ` a l’arc du cercle circonscrit ` a ABC qui est d´ elimit´ e par A et B.

1

Exercice 3. Porisme de Steiner

Soient C et C

deux cercles non s´ ecants tels que C

soit ` a l’int´ erieur de C . On construit alors une chaˆıne de cercles C

, C

, . . . tels que C

est tangent ` a C et C

quelconque, puis, pour i ≥ 2, C

est tangent ` a C , C

et C

. La chaˆıne est alors finie si, et seulement si, l’invariant conforme c de C et C

est de la forme

c = R

+ R

− d

2RR

= 1 + sin

(πp/k) cos

(πp/k) ,

o` u p est le nombre de tours. En particulier, cela ne d´ epend pas du choix du cercle C

de d´ epart.

Exercice 4. Soit C un cercle et soit (AB) une droite ne coupant pas C . ´ Etant donn´ e un point P

∈ C , on construit Q

le deuxi` eme point d’intersection de (AP

) avec C , puis P

le deuxi` eme point d’intersection de (BQ

). On r´ eit` ere ce proc´ ed´ e pour obtenir deux suites (P

)

et (Q

)

de points de C .

P0

Q0

P1

Q1

P2

C

A B

Figure 2 – Un ´ enonc´ e de g´ eom´ etrie dynamique ` a la Poncelet

Montrer ques i la suite (P

)

est p´ eriodique, alors cette propri´ et´ e est ind´ ependante du point P

choisi sur C .

2

1 (1) Notons r

la puissance de l’inversion i, si bien que AP × AP

= AQ × AQ

= r

.

On en d´ eduit alors que

=

et donc que les triangles AP Q et AQ

P

sont semblables, d’o` u le r´ esultat.

(2)

(3) On ´ ecrit QP R [ = QP A [ − RP A, qui d’apr` [ es la proposition pr´ ec´ edente est alors ´ egal

`

a AQ \

P

− AR \

P

= R \

P

Q

, d’o` u le r´ esultat.

(4) Les triangles AM N et AN

M

´ etant semblables, on a M

N

M N = AN

AM = ρ

AN × AM ,

d’o` u le r´ esultat.

2 Soit donc ABC un triangle et soit P un point du cercle circonscrit ` a ABC appartenant

`

a l’arc d´ elimit´ e par A et B. Une inversion de centre P et de puissance k transforme A, B, C en trois points A

, B

, C

align´ es dans cet ordre. D’apr` es ce qui pr´ ec` ere, l’´ egalit´ e A

C

= A

B

+ B

C

se traduit par AP × BC + AC × BP = CP × AB.

Pour P n’appartenant pas au cercle circonscrit ` a ABC, les points A

, B

, C

appar- tiennent ` a un cercle, de sorte que l’in´ egalit´ e triangulaire A

C

≤ A

B

+ B

C

est stricte et donc que CP × AB ≥ AP × BC + AC × BP .

3 S’agissant clairement d’un ´ enonc´ e de g´ eom´ etrie conforme, on applique une inversion qui fait de C et C

deux cercles concentriques : la figure ´ etant alors clairement invariante par ro- tation, on remarque bien que l’alternative

la chaˆıne est finie ou infinie

est ind´ ependante du choix de C

. La chaˆıne sera finie si, et seulement si, l’angle

∈ Q .

Notons α =

O \

OO

= O \

OT , o` u T est le point de contact entre C

et C

: α = π

. On note ρ, ρ

les rayons des deux cercles concentriques, de sorte que, d’apr` es ce qui pr´ ec` ede,

ρ

ρ⁰

= c + √

c

− 1, avec sinα =

, et donc

=

, soit

c + √

c

− 1 = 1 + sin

1 − sin

, ce qui donne le r´ esultat.

4 Introduisons l’inversion i

(resp. i

) de centre A (resp. B) et de puissance la puissance de A (resp. B ) par rapport ` a C , de sorte que C est globalement invariant par i

(resp. i

).

Avec les notations pr´ ec´ edentes, on a donc Q

= i

(P

) et P

= i

(Q

). Supposons alors que P

= P

et posons i =

N

z }| {

(i

◦ i

) ◦ · · · ◦ (i

◦ i

). Les points P

, Q

, . . . , P

, Q

sont alors fixes par l’homographie i, qui est donc ´ egale ` a l’identit´ e, d’o` u le r´ esultat.

3