Exercice 1. (2 points) Soit n ∈ N . Montrer par r´ ecurrence que P n

Exercice 1. (2 points) Soit n ∈ N . Montrer par r´ ecurrence que P n

k=0 (2k + 1) = (n + 1) ² .

Exercice 2. (5 points)

a) Donner la d´ efinition d’une suite qui est convergente.

b) Soit (u _n ) _{n∈ N} la suite d´ efinie par u _n = _2n+1 ¹ + 4. Montrer que la suite converge vers l = 4 pour n → +∞.

c) Soit (u n ) _n∈N

la suite d´ efinie par u n = ⁽⁻¹⁾ _n

. Montrer que la suite converge vers l = 0 pour n → +∞.

Exercice 3. (4 points)

a) Soit p :]0, ∞[→ R la fonction d´ efinie par p(x) = ^x _x

^+2x +x . Montrer que p admet l + = 2 comme limite ` a droite en x 0 = 0. Calculer la limite de p pour x → +∞.

b) Soit f : R ^∗ → R la fonction d´ efinie par

f (x) =

_x

_+2x

x

+x si x > 0,

|x| + 2 si x < 0.

Est-ce que f admet une limite en x ₀ = 0 ?

Exercice 4. (5 points)

a) Donner la d´ efinition d’une fonction f :]a, b[→ R qui est continue en un point x ₀ ∈]a, b[.

b) D´ eterminer l’image de l’intervalle [−1, 2] par la fonction f : R → R , x 7→ (x − 1) ² + 3.

c) Montrer que l’´ equation

x ⁷ − 3x ² + 5x − 1 = 0 admet au moins une solution dans l’intervalle [−1, 1].

Exercice 5. (5 points) Soit (u n ) n∈ N la suite d´ efinie par : u ₀ = 2, u _n+1 = √

4u _n − 3 ∀ n ∈ N .

a) Montrer que pour tout n ∈ N on a 1 ≤ u _n ≤ 3.

b) Montrer que (u _n ) _{n∈ N} est monotone croissante.

c) En d´ eduire que la suite (u n ) _{n∈ N} converge. Calculer sa limite.

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