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Exercice 1. Soit P le plan de R

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(1)

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2013-2014

Licence 2 `eme ann´ee Informatique

Alg`ebre

S´eance 6 : Orthogonalit´e

Exercice 1. Soit P le plan de R

3

orthogonale `a

 2

−3 6

. Trouver une base orthonorm´ee de P .

Exercice 2. Soit H le sous-espace vectoriel de R

4

d’´equation x − 2y + 4z + 2t = 0 et soit p la projection orthogonal de R

4

sur H.

1. Donner une base de H.

2. D´eterminer une base de H

⊥

.

3. Calculer ||u − p(u)|| pour tout u ∈ R

4

.

4. Quel est la matrice de p dans la base canonique de R

4

. 5. Diagonaliser p.

Exercice 3. Soient

u

1

=

 1 2

−1

−2

, u

2

=

 2 3 0

−1

, u

3

=

 5

−2

−5

−2

, u

4

=

 8 10

−10 4

 ,

1. Montrer que la famille (u

1

, u

2

, u

3

, u

4

) est une base de R

4

.

2. Appliquer le proc´ed´e de Gram-Schmidt pour obtenir une base orthonorm´ee `a partir de la base (u

1

, u

2

, u

3

, u

4

).

Exercice 4. Soient u

1

, u

2

, u

3

les vecteurs de R

3

donn´ees par u

1

=

 1 2 2

 , u

2

=

 1 3 1

 et u

3

=

 0 12

6

 ,

On note p le projecteur orthogonal sur F = Vect

R

(u

1

).

1. Montrer que les vecteurs (u

1

, u

2

, u

3

) forment une base de l’espace vectoriel R

3

.

2. En utilisant le proc´ed´e de Gram-Schmidt, orthonormaliser la base (u

1

, u

2

, u

3

) en une base (v

1

, v

2

, v

3

).

3. D´eterminer la matrice de p dans la base (u

1

, u

2

, u

3

).

4. D´eterminer la matrice de p dans la base canonique.

5. Quel est le rang de p ?

6. Recommencer les question 3 `a 5 pour la sym´etrie orthogonale s sur par rapport `a F.

7. Quels sont les liens entre les matrices obtenues ?

Exercice 5. Soit F le sous-espace vectoriel de R

3

engendr´e par les vecteurs v

1

=

 1 0 2

 et v

2

=

 4

−1 0

.

On note p le projecteur orthogonal sur F . On pose u =

 1 0

−3

.

1

(2)

2

1. D´eterminer une base orthonorm´ee de F et de F

⊥

. 2. D´eterminer p(u) puis l’angle entre u et p(u).

Exercice 6. Soit F le sous-espace vectoriel de R

3

engendr´e par les vecteurs v

1

=

 1 0 1

 et v

2

 1

−1 2

.

1. D´eterminer une ´equation de F .

2. D´eterminer une base orthonorm´ee de F et de F

⊥

. 3. Calculer la projection orthogonale de

 1 1 1

 sur F .

4. D´eterminer la matrice de la projection orthogonale sur F dans la base canonique de R

3

. 5. D´eterminer une matrice orthogonale dont la premi`ere colonne est

√1 2

0

√1 2

Exercice 7. Soit v =

 x y z

 un vecteur de R

3

et H le plan vectorial d’´equation ax + by + cz = 0 avec (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Calculer la distance minimal de v `a H, c’est-`a-dire, la distance minmal de v `a un vecteur de H.

Exercice 8. Consid´erons la matrice

A =

1 1 0 1 1 0 0 0 2

1. Justifier sans aucun calcul l’existence d’une matrice diagonale D et d’une matrice orthogonale P telles que A = P DP

−1

= P D

t

P.

2. Calculer de telles matrices D et P .

Exercice 9. Soit f la matrice de R

3

dont la matrice dans la base canonique est

A = 1 7

2 6 −3

3 2 6

6 −3 −2

1. Montrer que f est une rotation.

2. Trouver un vecteur unitaire u

1

sur l’axe de rotation de f .

3. Trouver des vecteurs u

2

et u

3

tels que (u

1

, u

2

, u

3

) soit une base orthonorm´ee de R

3

. 4. Quel est la matrice de f sans la base (u

1

, u

2

, u

3

).

5. Quel est l’angel de f ? 6. Mˆeme chose avec la matrice

B = 1 9

8 1 −4

−4 4 −7

1 8 4

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