Universit´e Grenoble Alpes L2 Sciences 2017-2018 Unit´e d’Enseignement MAT 301
Feuille de TD 8
Espaces propres, valeurs propres.
Exercice 1
On note E =K2[X] le sous-espace vectoriel de K[X] form´e des polynˆomes de degr´e au plus 2.
On consid`ere l’application suivante :
F :K[X]→K[X], P(X)7→P0(X) +P(0)X o`uP0 d´esigne le polynˆome d´eriv´ee de P.
1. Montrer que E est stable par F. On notera f l’endomorphisme de E induit par restriction deF `a E.
2. D´eterminer Imf.
3. D´eterminer Kerf.
4. D´eterminer la matrice de f dans la base canonique deE.
5. D´eterminer le polynˆome caract´eristique et les valeurs propres de f.
6. Montrer que f est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres def. Exercice 2
Dans l’espace vectoriel E = K[X] de dimension infinie, on note F = K3[X] le sous-espace vectoriel form´e des polynˆomes de degre au plus 3 et G l’ensemble des polynˆomes divisibles par X4.
1. Montrer que G est un sous-espace vectoriel deE et que E =F ⊕G.
On consid`ere l’application suivante :
f :E →E, P(X)7→P(X2).
2. Montrer que f est lin´eaire et que les seuls vecteurs propres de f sont les polynˆomes de degr´e 0.
3. Quels sont les sous-espaces vectoriels de E de dimension finie stables parf ?
R´eduction des endomorphismes.
Exercice 3
1. On consid`ere l’endomorphisme f deR3 dont la matrice dans la base canonique est :
MatBcanf =
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
.
a. D´eterminer les valeurs propres def et leur multiplicit´e alg´ebrique.
1
b. Donner une base de chaque espace propre de f et la multiplicit´e g´eom´etrique des valeurs propres.
c. L’endomorphismef est-il diagonalisable ?
d. Si oui, donner une base de vecteurs propres, la matrice de f dans cette base, la matrice de changement de base de la base canonique vers cette base et son inverse.
2. Mˆeme question que la question pr´ec´edente pour :
MatBcanf =
2 0 4
3 −4 12
1 −2 5
.
3. Mˆeme question que les questions pr´ec´edentes pour l’endomorphisme f de R4 de matrice :
MatBcanf =
1 1 2 4
1 1 2 4
1 2 1 4
−5 0 0 −5
.
Exercice 4
On consid`ere l’endomorphismef deR3 dont la matrice dans une base B= (e1, e2, e3) deR3 est :
MatBf =
3 −1 1
0 2 2
−1 1 3
. 1. D´eterminer les valeurs propres def.
2. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?
3. Montrer qu’on peut trouver deux vecteurs propresf1,f2 def tels que B0 = (f1, f2, e1) forme une base de R3.
4. D´eterminer la matrice de f dans la baseB0.
2
