• Aucun résultat trouvé

(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2, e3)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2, e3)"

Copied!
1
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion

Examen de Math´ematiques (S3) Session de juin 2007 Dur´ee : 1h30 — 1 page

Documents et appareils ´electroniques interdits

Exercice1 — R´esoudre le syst`eme lin´eaire suivant.

3x+ 2y−z = 1 x+y+z = 1

x−3z = −1

Exercice2 — Trouver tous les r´eelsαtels que la matrice

1 2 1

0 α 1

2 0 1

soit inversible. CalculerA−1 lorsqueAest inversible.

Exercice3 — On consid`ere l’application lin´eairef :R3→R3 donn´ee par

f(x, y, z) = (−2x−4y+ 4z,7x+ 12y−7z,7x+ 10y−5z).

(1) ´Ecrire la matrice de l’applicationf dans la base canonique (e1, e2, e3).

(2) Soit v1= (1,0,1),v2= (0,1,1) etv3= (−1,1,1). Montrer que (v1, v2, v3) est une base deR3. (3) ´Ecrire la matrice def dans la base (v1, v2, v3).

(4) Exprimerf(v1),f(v2) etf(v3) en fonction dev1,v2 etv3. (5) En d´eduire que l’endomorphismef est diagonalisable.

(6) L’endomorphisme f est-il injectif ? Surjectif ? Bijectif ?

Exercice 4 — Les matrices suivantes sont-elles trigonalisables ? Sont-elles diagonalisables ? Si oui, on les diagonalisera.

A=

5 −2 7 −2

B=

3 0 0

−1 1 2

−1 −2 5

Exercice5 — On consid`ere la relation de r´ecurrence suivante.

xn+1 = 3xn−2yn

yn+1 = xn

(1) On pose

Xn = xn

yn

.

Ecrire une relation matricielle entre´ Xn+1 etXn.

(2) D´eterminer toutes les suites vectorielles (Xn)n∈Nv´erifiant cette relation.

(3) Dans cette question, on suppose que x0 =−1 ety0 = 0. Exprimer Xn en fonction de n. Quel est le comportement asymptotique deXn quand n→+∞?

(4) Mˆeme question avecx0= 1 ety0= 1.

(5) Y a-t-il un vecteur d’´equilibre non nul ?

1

Références

Documents relatifs

[r]

[r]

Sauf mention explicite du contraire, R n est muni de son produit scalaire usuel.. Montrer que H est un hyperplan et en donner

Si oui, d´ eterminer sa base

Donner la matrice de f dans

La qualité de la rédaction et la rigueur des justifications seront prises en compte dans l’appréciation de la copie2. Calculer une primitive de f sur chacun des intervalles où elle

(On pouvait aussi exprimer la forme quadratique comme somme de carr´ es.) c) Par calcul direct on trouve que u 1 est vecteur propre de valeur propre 3.. e) Cela suit du th´ eor`

[r]