d) Soit (e1, e2, e3) la base canonique deR3 eth·|·i le produit scalaire canonique sur R3

L3 de Math´ematiques Ann´ee 2020–2021 Structures lin´eaires et bilin´eaires

Examen (session 1) (dur´ee : 3h)

Exercice 1 (5 points). SoitA=





1 1 1

0 1 0

−1 0 3



.

a) Calculer det(A−2I3) et det(A−I3).

b) Le polynˆome p₁(λ) = (λ−2)(λ−1) est-il annulateur de A? Mˆeme question pourp2(λ) = (λ−2)²(λ−1) ?

c) Donner le polynˆome minimalµ_A de Aainsi que son polynˆome caract´eristiqueχ_A. d) Soit (e₁, e₂, e₃) la base canonique deR³ eth·|·i le produit scalaire canonique sur R³.

(1) Trouver tous lesu₁∈R³ tels que (A−2I₃)u₁= 0 ethu₁|e₁i= 1.

(2) Trouver tous lesu₂∈R³ tels que (A−2I₃)u₂=u₁ ethu₂|e₂+e₃i= 1.

(3) Trouver tous lesu₃∈R³ tels que (A−I₃)u₃= 0 ethu₃|e₁+e₂i= 1.

e)En se servant des questions pr´ec´edentes, trouver une base de jordanisation deAet la forme r´eduite de Jordan dans cette base.

R´eponses.

a) det(A−2I₃) = 0 et det(A−I₃) = 0.

b) Par calcul direct on obtient p₁(A)6= 0 (p₁ non annulateur de A) et p₂(A) = 0 (p₂ est annulateur de A).

c) µ_A(λ) = −χ_A(λ) = p₂(λ) (les signes d´ependent de la convention adopt´ee). Ce r´esultat est une conclusion des questions pr´ec´edentes, pas besoin de calculer χA(λ).

d) On trouveu1=



 1 0 1



,u2=



 0 0 1



,u3=



 2

−1 1



.

e) (u₁, u₂, u₃) est une base de jordanisation. La r´eduite de Jordan dans cette base est





2 1 0 0 2 0 0 0 1



.

(Attention, l’ordre des blocs de Jordan doit ˆetre coh´erent avec l’ordre de la base).

Exercice 2 (5 points). Soit M = 1 1

1 0

, et soit φ₁ : M₂(R)× M₂(R) → R la forme bilin´eaire donn´ee par φ1(A, B) = tr(^tBM A) pour tout A, B∈ M₂(R).

a) Montrer queφ₁ est sym´etrique.

b) Trouver la matrice de φ1 dans b, la base canonique de M₂(R), c’est-`a-dire b = (b1, . . . , b4) avec b1 =

1 0 0 0

,b2 = 0 1

0 0

,b3= 0 0

1 0

,b4 = 0 0

0 1

.

c) Soit q2 :R⁴×R⁴ →Rla forme quadratique donn´ee parq2(x) = (x1+x3)²+ (x2+x4)²−x²₃−x²₄ pour toutx∈R⁴ de coefficients (x₁, x₂, x₃, x₄). Donner la forme polaireφ₂ de q₂ ainsi que sa matrice dans la base canonique de R⁴.

d) D´eterminer la signature deφ1. Est-ce que φ1 est positive ? Non-d´eg´en´er´ee ? e) Trouver l’orthogonal de Vect(b₁, b₂) pour φ₁.

R´eponses.

a) En utilisant le fait que tr(^tN) = tr(N) pour tout N ∈ M₂(R) on trouve φ₁(B, A) = tr(^tA M B) = tr ^t(^tAM B)

= tr(^tB^tM A) = tr(^tBM A) =φ₁(A, B)

pour toutA, B∈ M₂(R) vu que la matriceM est sym´etrique. (On pouvait aussi exprimerφ₁(B, A) en terme des coefficients de B etA dans la base canonique et d´evelopper, on obtenait ainsi une formule manifestement sym´etrique.)

b)On trouve la matrice repr´esentative en calculant les coefficientsφ1(bi, bj) pour touti, j∈ {1,2,3,4}, ce qui donne la matrice









1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0







 .

c) La forme polaire φ2(x, y) = (x1 +x3)(y1 +y3) + (x2 +x4)(y2 +y4)−x3y3 −x4y4 (on pouvait soit la deviner, soit la calculer avec la formule polaire), et en calculant, on trouve la mˆeme matrice repr´esentative que pourφ₁.

d)En se servant des questions pr´ec´edentes on voit queφ2 (et doncφ1) est de signature (2,2,0). Donc φ₁ n’est pas positive, et φ₁ est non-d´eg´en´er´ee.

e)On trouve queφ1(x, b1) = 0 etφ1(x, b2) = 0 est ´equivalent `a 0 =x1+x3et 0 =x1+x3+x2+x4. Ceci est ´equivalent `ax1=−x₃etx2 =−x₄, ce qui permet d’obtenir (Vect(b1, b2))^⊥= Vect(b1−b3, b2−b4).

Exercice 3 (5 points). Soit

A=





2 −1 0

−1 2 0

0 0 3



, B =





0 0 0 0 0 0 0 0 5



.

Soit h·|·i : R³ ×R³ → R (`a ne pas confondre avec le produit scalaire canonique de R³!) la forme bilin´eaire sym´etrique dont la matrice dans la base canonique deR³ estA.

a) Trouver les valeurs propres et une base deR³ de vecteurs propres de A.

b) Justifier que la forme bilin´eaire sym´etriqueh·|·i est un produit scalaire.

c) V´erifier que le vecteuru₁ =^t(−1,1,0) est un vecteur de propre de A et pr´eciser la valeur propre.

Calculer sa norme ku₁k pour le produit scalaire h·|·i (`a ne pas confondre avec le produit scalaire canonique de R³!).

d) Trouver une base (v1, v2, v3) de R³ de vecteurs propres de A, orthonorm´ee pour h·|·i, telle que v1 = _ku^u1

1k.

e) Montrer qu’il existe une base orthonorm´ee pourh·|·i, form´ee de vecteurs propres de B.

R´eponses.

a) Les valeurs propres sont λ₁ = 1 et λ₂ = 3. Un exemple de base de vecteurs propres (les deux premi`eres correspondant `a la valeur propre 3, le dernier `a 1) est : u1 = ^t(−1,1,0), u2 = ^t(0,0,1), u₃ =^t(1,1,0).

b)Aest sym´etrique et toutes ses valeurs propres sont strictement positives, c’est donc une conclusion du th´eor`eme spectral. (On pouvait aussi exprimer la forme quadratique comme somme de carr´es.) c) Par calcul direct on trouve que u₁ est vecteur propre de valeur propre 3. Sa norme ku₁k = phu₁|u₁i=√

6 (attention `a utiliser le bon produit scalaire).

d) On peut utiliser l’algorithme de Gram–Schmidt, mais il y a beaucoup de simplifications car on trouve hv₁|u₂i= 0, et u₃ est forc´ement orthogonal `au₁ etu₂. Il suffit donc de normaliseru₂ etu₃ :

v₁ = 1

√6





−1 1 0



, v₂ = 1

√3



 0 0 1



, v₃ = 1

√2



 1 1 0



.

e) Cela suit du th´eor`eme spectral si on montre que l’endomorphisme associ´e `a B est sym´etrique pour h·|·i (il ne suffit pas de savoir que la matriceB est sym´etrique !). En effet, pour tout u, v∈R³ on a

hu|Bvi=^tuABv=^tuBAv=^t(Bu)Av=hBu|vi,

o`u l’identit´e AB = BA suit d’un calcul direct, et la troisi`eme identit´e utilise le fait que B est une matrice sym´etrique au sens usuel. (On pouvait ´egalement remarquer que les vecteurs propres de B sont des vecteurs propres deA et construire la base demand´ee directement.)

Exercice 4 (5 points). Soit n≥1 entier. Supposons que A, B ∈ M_n(C) sont des matrices v´erifiant [A, B] =A(o`u [A, B] =AB−BA).

a) Montrer par r´ecurrence que pour toutk≥1 entier, [A^k, B] =kA^k.

b) Soit f : M_n(C) → M_n(C) l’endomorphisme donn´e par f(M) = [M, B] pour tout M ∈ M_n(C).

Montrer quef(A^k) =kA^k pour toutk≥1 entier. Montrer queA est nilpotent.

On supposera dans la suite quen= 2.

c) Soit p(λ) = aλ² +bλ+c un polynˆome de degr´e ≤ 2, o`u a, b, c ∈ R. En utilisant a), exprimer [p(A), B] comme polynˆome deA.

d) Soit maintenant χ_A(λ) =λ²+bλ+c le polynˆome caract´eristique de A. En utilisant le th´eor`eme de Cayley–Hamilton et la questionc), montrer 2A²+bA= 0.

e) Sans justifier, donner toutes les r´eduites de Jordan possibles deA. On pourra se servir de b).

R´eponses.

a) Le cas k= 1 est l’hypoth`ese [A, B] = A. Montrons que si [A^k−1, B] = (k−1)A^k−1 et [A, B] =A, alors [A^k, B] =kA^k. En effet,

[A^k, B] =A^kB−BA^k=A(BA^k−1+ (k−1)A^k−1)−(AB−A)A^k−1 = (k−1)A^k+A^k=kA^k, o`u on a utilis´e [A^k−1, B] = (k−1)A^k−1 et [A, B] =A pour obtenir la seconde ´egalit´e.

b) Par la question pr´ec´edente, f(A^k) = [A^k, B] = kA^k. Si A ne serait pas nilpotent, alors par la question pr´ec´edente f aurait un nombre infini de valeurs propres, {1,2,3, . . .}, ce qui est impossible puisque dimM_n(C)<+∞.

c) Vu que [A², B] = 2A, [A, B] =Aet [I₂, B] = 0, on obtient [p(A), B] = 2aA²+bA.

d) Par Cayley–Hamilton, χA(A) = 0 et donc aussi [χA(A), B] =χA(A)B−BχA(A) = 0. Si on ´ecrit χ_A(λ) =λ²+bλ+c, l’identit´e [χ_A(A), B] = 0 implique 2A²+bA= 0 en utilisant c)avec a= 1.

e) On a A² = 0 donc les r´eduites de Jordan possibles sont 0 0

0 0

et 0 1

0 0

.