UNIVERSIT´E LILLE 1 M22-MIMP
2013-2014 Groupe 12
Devoir Maison pour le 16 avril 2014
Partie A
On se place ici dansR3, avec sa base canonique :1 = (1,0,0), 2 = (0,1,0),3 = (0,0,1).
On d´efinit l’application f sur R3 par
f(x1+y2+z3) = x1+ (y−z)2 1. Montrer quef est lin´eaire et calculer f(1), f(2) et f(3).
2. Ecrire la matrice M def dans la base canonique, et calculer M2. Sans calculs, que vaut f◦f?
3. D´eterminer Imf et en donner une base (qu’on notera (e1, e2)).
4. D´eterminer Kerf. V´erifier que Kerf est de dimension 1 et trouver un vecteure3 tel que Kerf ={λe3 | λ∈R}.
5. Montrer queB= (e1, e2, e3) est une base de R3. En d´eduire que tout vecteurv ∈R3 s’´ecrit de fa¸con unique comme la somme d’un ´el´ement de Imf et d’un ´el´ement de Kerf. Que peut-on dire des deux sous-espaces Imf et Kerf?
6. Ecrire la matrice A de f dans la base B. Quel est le rang de A? 7. Que vaut f(v) si v ∈Imf? si v ∈Kerf?
Partie B
Soit E unR-espace vectoriel de dimension n, et f ∈ L(E). On suppose que
f◦f =f (1)
1. Soitw ∈Imf : montrer en utilisant (1) que f(w) = w.
2. Montrer que Imf ∩Kerf ={0}.
3. A l’aide de 2. et du th´eor`eme du rang, montrer que dim(Imf + Kerf) = dimE. En d´eduire que Imf ⊕Kerf =E.
4. Soit (e1, . . . , ek) une base de Imf et (ek+1, . . . , en) une base de Kerf. Justifier grˆace aux questions pr´ec´edentes que B= (e1, . . . , ek, ek+1, . . . , en) est une base de E.
5. Calculerf(ei) pour touti(distinguer 1≤i≤k etk+ 1≤i≤n) et ´ecrire la matrice de f dans la base B.
Partie C
Les applications consid´er´ees dans les partiesAetB, qui v´erifientf◦f =f, sont appel´ees projecteurs. Plus pr´ecis´ement, en notant F = Imf et G = Kerf, on dit que f est le projecteur sur F parall`element `a G.
1. En reprenant les donn´ees de la partie A, faire un dessin repr´esentant : - les vecteurs 1, 2 et3;
- les vecteurs e1, e2, e3 et les sous-espaces F = Imf etG= Kerf; - les vecteurs u= (0,2,1) et v = (0,3,2) et leur image par f.
2. Justifier `a l’aide du dessin l’appellation “projecteur sur F parall`element `aG”.
Compl´ement :
R´eciproquement, si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E tels que F ⊕G =E, on peut construire une (unique) application lin´eaire f qui v´erifie
∀v ∈F, f(v) =v
∀v ∈G, f(v) = 0 On peut montrer qu’on a alors automatiquement
Imf =F Kerf =G f◦f =f et f est le projecteur sur F parall`element `a G.
