u1, u2, u3 sont les projecteurs associés à la décomposition E =E1⊕E2⊕E3 où Ei = Imui pour i= 1,2,3

PSI* — 2019/2020 — Révisions par chapitres — Algèbre n^o 11 Page 1

11. (CCP) Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie,u1, u2, u3 dansL(E) tels que u1+u2+u3 = IdE et u_i◦u_j = 0pour i=j.

a)Préciser la nature de u1,u2,u3.

b)Soit f =u1+u2−2u³ ; quelle relation simple existe-t-il entre les valeurs propres de f et celles de u3 ? f est-il diagonalisable ? Trouver ses éléments propres. f est-il inversible ?

Solution :

a)Résultat classique (cf. chapitre 1, p.4). u1, u2, u3 sont les projecteurs associés à la décomposition E =E1⊕E2⊕E3 où E_i = Imu_i pour i= 1,2,3.

En effet, on obtient que u_i est un projecteur en composant paru_i la relation u1+u2+u3 = IE, ce qui donne u_i◦u_i =u_i compte tenu des hypothèses.

Ensuite la même relation donne E=E1+E2+E3, puisque pour toutx deE, x=u1(x) +u2(x) +u3(x).

Enfin, pour montrer que la somme est directe, je considère (x¹, x2, x3) ∈ E1 ×E2 ×E3 tel que x1 +x2 +x3 = 0 et, en appliquant u_i, je trouve x_i = 0 (car x_i est invariant par u_i, étant dans l’image de ce projecteur ; etx_i est dans lesKeru_j pour j=i, puisqueu_j◦u_i = 0, ce qui équivaut à Imu_i ⊂Keru_j). Donc tous les x_i sont nuls, ce qui achève la démonstration.

b)Je remarque que f = IdE−3u³.

Il en résulte que les valeurs propres de f sont les1−3λ, pour λ∈Spu3.

Ainsi trois cas se présentent, selon que u3 vaut 0,IdE ou est un projecteur non trivial.

Plus précisément, je choisis une baseB adaptée à la décompositionE =E1⊕E2⊕E3 (il en existe !) et j’ai les matrices par blocs :

MB(u³) =





0 0 0 0 0 0 0 0 I_r3



 et MB(f) =





I_r1 0 0 0 I_r2 0 0 0 −2Ir3





en notant r_i le rang de u_i (autrement ditr_i= dimE_i).

Donc f est diagonalisable et voici ses éléments propres :

∗ siu3= 0(r3 = 0), Spf ={1} etE1(f) =E (f = IdE) ;

∗ siu3= IdE (r³= dimE), Spf ={−2} etE−2(f) =E (f =−2IdE) ;

∗ sinonSpf ={1,−2},E1(f) =E1⊕E2 etE−2(f) =E3.

Dans tous les casf est inversible, puisque 0 n’est pas valeur propre !