UPS, Licence L2 Mathématiques Mécanique FEUILLE 1
Exercice 1.
Soitf l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est
M =
1 1 −2
−3 0 3
2 −1 −1
.
a) Déterminer Kerf et calculer le déterminant deM.
b) Soient u1 = (1,−1,0), u2 = (0,1,−1), u3 = (1,1,1). Trouver la matrice de f dans la base ε= (u1, u2, u3).
c) On considère le planP =
(x, y, z)∈R3|x+y+z= 0 . Montrer quef(P) =P. On noterag la restriction def àP. Montrer que(u1, u2)est une base de P et calculer les matrices deg etg2 dans cette base.
d) Trouver un projecteurp et une homothétieh telles que f2=p◦h. On rappelle qu'un projecteur est un endomorphismep tel que p◦p=p.
Exercice 2.
On considère l'endomorphisme deR3 (muni de sa base canonique e= (e1, e2, e3)) déni par : f(e1) = 2e1+ 3e2+e3
f(e2) = −4e2−2e3 f(e3) = 4e1+ 12e2+ 5e3 a) Déterminer Kerf.
b) Trouver une base Imf. A quelle relation doivent satisfaire les coordonnées d'un point générique (a, b, c) pour qu'il appartienne à Imf?
c) On considère la base ε= (ε1, ε2, ε3) avec ε1 = (−4,3,2), ε2 = (−4,0,1),ε3 = (2,1,0). Chercher la matrice de passage entreeetε. En déduire la matrice de f dansε.
d) Chercher les valeurs propres def et les sous-espaces propres associés. Retrouver la matrice de f dans la baseε.
Exercice 3.
Soientu= (1,1,0),v= (0,1,1),w= (1,0,1).
a) Montrer qu'il existe un unique endomorphismef deR3 tel que :
f(u) = (−1,4,0), f(v) = (2,10,9)f(w) = (5,−2,9).
b) Soitg(x) = (x−2y+ 4z,−4x+ 8y+ 2z,9z). Déduire de a) quef =g. c) En déduire la matrice de f dans la base canonique e= (e1, e2, e3) de R3. d) Déterminer Kerf et en donner une base.
e) Chercher une base de Imf et en déduire son équation.
f) En déduire que R3= Kerf ⊕Imf et que la famille (ε1, ε2, ε3) avecε1 = 2e1+e2,ε2 =e1−4e2, ε3 = 2e2+e3 forme une base adaptée à cette décomposition.
g) Chercher les matrices de passage entre les bases eetε. En déduire la matrice de f dansε. h) Déduire directement de c) les valeurs propres et sous-espaces propres def et retrouver ainsi la conclusion de g).
Exercice 4.
On considère l'application f :R3[X]→R dénie parf(P) =R1
0 P(x)dxpourP ∈R3[X]. 1
a) Montrer quef est une forme linéaire. Donner les dimensions de son noyau et de son image.
b) Montrer qu'il existea, b, c, d∈R tels que∀P ∈R3[X],
f(P) =aP(0) +bP0(0) +cP00(0) +dP(3)(0).
Déterminer une base de Kerf. Exercice 5.
SoientE =R3[X]et`:E→R3 dénie par `(P) = (P(0), P0(0), P(1)).
a) Montrer que`est linéaire et donner sa matrice dans les bases canoniques de E etR3.
b) Déterminer Ker`et Im `et retrouver le théorème du rang. Peut-on parler de somme directe de Ker` et Im`?
c)Soit F le plan vectoriel deE engendré par1etX2. Donner une base de`(F). Discuter en fonction de(x, y, z)∈R3 de la résolution de l'équation`(P) = (x, y, z),P ∈F.
Exercice 6.
SoientA∈ M(n1, n1),B ∈ M(n1, n2),C ∈ M(n2, n1),D∈ M(n2, n2) avec A inversible. Trouver des matricesX1,X2,M1,M2 telles que
A B
C D
=
In1 0 X1 In2
M1 0 0 M2
In1 X2
0 In2
.
Quelle formule sur les déterminants peut-on déduire de cette décomposition ? Montrer que le dé- terminant d'une matrice triangulaire par blocs est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux.
Exercice 7.
SoitDn(α1, . . . , αn) =
1 α1 α21 . . . αn−11 1 α2 α22 . . . αn−12 . . . .
1 αn α2n . . . αn−1n
.
a) SoitP(X) =Dn(α1, . . . , αn−1, X). Montrer queP(X)est un polynôme de degré≤n−1, admet- tant α1, . . . , αn−1 pour racines, et de coecients dominant égal à Dn−1(α1, . . . , αn−1). En déduire P.
b) En déduire par récurrence surnl'expression deDn(α1, . . . , αn) en fonction des αi.
c) En déduire que ce déterminant est6= 0 si et seulement si les αi sont distincts deux à deux.
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