ECE 2 MATHEMATIQUES DS 2 - durée : 4h
7 octobre 2020
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits. Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Exercice I.
Déterminer le rang de la famille F ={u1, u2, u3, u4},
où u1=
1 1 0 2
, u2=
1
−1 1 0
, u3 =
0
−2
−1 1
et u4=
2
−2 0 3
.
Exercice II.
Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ? Justifier. Si oui, et si possible, en donner une base et leur dimension.
1. E=
( a b−a b+c c
!
∈ M2(R)
(a, b, c)∈R3 )
2. F est l’ensemble des suites monotones.
3. Gest l’ensemble des suites géométriques de raison3.
Exercice III.
Recopier et compléter les programmes qui suivent, afin qu’ils permettent de simuler des réalisations des loisB(n, p)etG(p)respectivement.
On rappelle que la loi binomiale est la loi du nombre de succès, et la loi géométrique celle du premier instant de succès, lorsque l’on répète plusieurs fois indépendamment une épreuve de Bernoulli.
On rappelle également que la commanderand()permet de simuler de manière aléatoire un réel de l’inter- valle[0; 1].
n=input(’entrez n’) p=input(’entrez p’) s=...
for k=...
if ... then s=...
end end
disp(...)
p=input(’entrez p’) ...
while ...
...
end
disp(...)
ECE 2 1/3 Lycée François Couperin
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7 octobre 2020
Exercice IV.
On considère les matrices A=
0 0 1 0 1 0 1 0 0
, K =
0 1 0 1 0 1 0 1 0
, L=
1 0 1 0 0 0 1 0 1
, ∆ =
0 0 0 0 1 0 0 0 0
. On noteEl’ensemble des matricesM deM3(R)vérifiant AM A=AM.
1. Montrer queE est un espace vectoriel.
2. Déterminer le rang deA.
3. CalculerA2.Aest-elle inversible ?
4. SoitM ∈ M3(R). Montrer que M ∈E ⇐⇒ M =M A.
5. Montrer que les matrices deEne sont pas inversibles. (On pourra raisonner par l’absurde.) 6. SoitM =
a b c d e f g h k
une matrice.
Donner des conditions sur ses coefficients pour queM appartienne àE. En déduiredim(E).
7. On considère l’ensembleF des matrices de la formeM =
x y x y z y x y x
oùx,yetzsont des réels.
On considère aussi l’applicationf définie surF par f(M) =KM +M K.
a. Vérifier queF est un sous-espace vectoriel deE, et donner une base deF.
b. CalculerKL,LK,K∆,∆KetK2. (Détailler seulement le calcul du1ercoefficient de chaque produit.) c. Montrer quef est un endomorphisme deF.
d. Donner une base deKer(f)puis deIm(f).
e. f est-il un automorphisme deF? Exercice V.
On noteBla base canonique deM3,1(R).
On considère l’endomorphismef ∈L(M3,1(R))de matrice dans la base canonique A=
−1 −1 2
1 2 −1
−2 −1 3
. 1. Calculer f
x y z
. 2. Soit les vecteurs u=
1
−1 1
et v=
1 0 1
. Calculerf(u)etf(v).
3. Trouver un vecteurw∈ M3,1(R) tel quef(w) =v+w. (On choisira la1recoordonnée dewégale à0.) 4. Montrer que la familleB0 ={u, v, w}est une base deM3,1(R).
5. Ecrire alors la matrice de passageP deBàB0, ainsi que la matriceT defdans la baseB0. 6. CalculerP−1.
7. Vérifier que l’on peut écrireT =D+N, oùDest diagonale, etN vérifieN2= 03. 8. Calculer alorsTn.
9. En déduireAn.
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7 octobre 2020
Exercice VI.
Soit la fonction définie surR∗+par f(x) = 1−e−x x .
1. Justifier quef est continue surR∗+. Y est-elle également de classeC∞? 2. Ecrire le développement limité à l’ordre1def en0.
En déduire quef est prolongeable par continuité en0. Préciser la valeur à poser pourf(0).
On notera encoref le prolongement ainsi défini.
3. Calculer la limite def en+∞.
4. En utilisant le taux d’accroissement, étudier la dérivabilité def en0.
Le résultat pouvait-il être déduit du DL obtenu précédemment ? 5. Pourx >0, calculerf0(x).
6. Etudier la fonctiongdéfinie par g(x) =e−x(1 +x)−1, et en déduire les variations def surR+. Exercice VII.
On considère les fonctionschetshdéfinies surRpar ch(x) = ex+e−x
2 et sh(x) = ex−e−x
2 ,
ainsi que la fonctionf définie surRpar f(x) =
x
sh(x), six6= 0 1, six= 0 1. Etudier la parité des fonctionschetsh.
2. Déterminer un équivalent en+∞desh(x).
3. Dresser le tableau de variations de la fonctionsh, puis en déduire le signe deshsurR.
4. Montrer que la fonctionshréalise une bijection deRdansR. 5. Etudier les variations de la fonctionch.
6. Montrer que ∀x∈R, ch(x)> sh(x).
7. Donner sur un même graphique l’allure des courbes représentatives des fonctionschetsh.
8. Etudier la parité de la fonctionf.
9. Rappeler le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fontion exponentielle, puis donner le déve- loppement limité à l’ordre 2 en 0 de la fontionsh.
10. En déduire que la fonctionf est continue en0,dérivable en 0, et déterminerf0(0).
11. Justifier quef est dérivable surR∗+et surR∗−et calculerf0(x)pourx∈R∗. 12. On pose, ∀x∈R+, h(x) =sh(x)−xch(x).
Etudier les variations deh, puis en déduire le signe dehsurR+. 13. Déterminer les variations def surR+.
14. Créer un programme Scilab qui :
— comporte une fonction : la fonctionf (utiliserfunction),
— trace le graphe de la fonctionf sur[−3; 3].
ECE 2 3/3 Lycée François Couperin
![1) N (Ω) = N ∗ . Plus généralement, la loi de N est celle du premier succès dans une suite d’expériences de Bernoulli indépendantes de même paramètre p ∈]0, 1[ : c’est une loi géométrique.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)