MPSI B DM 14 29 juin 2019
Exercice I
Soit u l'endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est :
1 4 6
1 1 3
−1 −2 −4
1. Former une base du noyau et de l'image. Former une équation de l'image. L'image et le noyau sont-ils supplémentaires ?
2. Que vaut u ◦ u ?
3. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de u est :
−1 0 0
0 −1 0
0 0 0
Problème I
L'objet de ce problème est le calcul de la somme des inverses des carrés par la méthode des coecients de Fourier.
1. a. Calculer
Z 1 0
t cos(kπt) dt
Z 1 0
t 2 cos(kπt) dt
b. En déduire qu'il existe un unique couple (a, b) de réels à préciser tel que,
∀k ∈ N ∗ , Z 1
0
(at 2 + bt) cos(kπt)dt = 1 k 2 c. Transformer, pour le couple (a, b) de la question précédente
Z 1 0
(at 2 + bt) 1 2 +
n
X
k=1
cos(kπt)
! dt
2. Pour tout n ∈ N ∗ et tout θ ∈]0, π[ , exprimer 1 + 2
n
X
k=1
cos(2kθ) comme un quotient de deux sinus.
3. Soit f une fonction réelle de classe C 1 sur [0, 1] . Montrer que la fonction λ →
Z 1 0
f(t) sin(λt)dt
converge vers 0 en +∞ .
4. On considère la fonction réelle dénie dans [0, 1] par : f (t) =
π 2 (t 2 − 2t)
4 sin( π 2 t) si t 6= 0
− π si t = 0 a. Montrer que f est de classe C 1 sur [0, 1] .
b. Montrer la convergence de la suite (
n
X
k=1
1 k 2 ) n∈ N
∗ainsi que la valeur de la limite.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
