MPSI 2 Semaine 28
Exercice 1 Orthogonalité et produit scalaire
Sauf mention explicite du contraire,Rn est muni de son produit scalaire usuel.
1. Soit aun nombre réel et ϕla forme bilinéaire symétrique sur R2 définie par ϕ(u1, u2) =x1x2+ 2(x1y2+x2y1) +ay1y2. A quelle condition sura,ϕest-elle un produit scalaire ?
2. DansR2 trouver tous les vecteurs unitaires(u, v, w)tels queu+v+w= 0.
3. DansR4, soitH l’hyperplan défini parx+y+z+t= 0etpla projection orthogonale surH. Pour tout vecteurudeR4, calculer||u−p(u)||. Exprimer la matrice depdans la base canonique deR4. 4. Dans R4, soit H le sous-espace vectoriel engendré par u = (1,1,0,1), v = (−2,0,1,1) et w = (0,1,0,1). Montrer queH est un hyperplan et en donner une équation. Trouver un vecteur unitaire orthogonal à H et exprimer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport àH dans la base canonique deR4.
5. DansR4soitP le plan d’équationsx−4y+z+ 3t= 2x−y+z+t= 0. Trouver des équations du plan orthogonal à P.
6. Soitf continue de[0; 1]dansR. Montrer qu’il existe trois réelsa,betcuniques tels que, pour tous
x, y et z, on ait Z 1
0
f(t)−a−bt−ct22 dt≤
Z 1
0
f(t)−x−yt−zt22
dt et les expliciter pour f(t) = exp(−t).
7. SoitE=R[X] etEn=Rn[X].
(a) Pour n ≥ 1, on note Fn le sous-espace de En formé des polynômes P tels que P0(0) = 0.
Montrer que c’est un hyperplan deEn.
(b) Montrer que, pour toutnentier naturel, il existeHn dansEn tel que, pour toutP dansEn, R1
0 Hn(t)P(t)dt=P0(0).
(c) CalculerHn pour1≤n≤3.
Exercice 2 Orthonormalisation
Sauf mention explicite du contraire,Rn est muni de son produit scalaire usuel.
1. Dans R4, soit u= (1,−3,0,2), v = (3,−3,−2,1), w = (1,0,1,0) et s = (0,0,0,1). Montrer que (u, v, w, s)est une base deR4 et l’orthonormaliser. Donner la matrice de la projection orthogonale sur le planP d’équationsx−3y+ 2t= 3x−3y−2z+t= 0 dans la base canonique.
2. SoitE euclidien,(u1, . . . , un)une base deE et(e1, . . . , en)son orthonormalisée. Démontrer qu’on a det(e1,...,en)(u1, . . . , un) = (u1 | e1)(u2 | e2)· · ·(un | en). En déduire que, si B est une base orthonormée quelconque, on a detB(u1, . . . , un)≤ ||u1|| · · · ||un|| avec égalité si et seulement si la famille(u1, . . . , un)est orthogonale.
3. SoitE=R[X]etEn =Rn[X]. On noteqn la projection orthogonale deE surEn. Enfin on pose P0= 1etPn=Xn−qn−1(Xn)sin≥1.
(a) Montrer que, pour toutnentier naturel,Pn est unitaire.
(b) Montrer que la famille(Pn)n∈N est orthogonale.
(c) Montrer que, pour tout n entier naturel, Pn−XPn−1 est combinaison linéaire de Pn−1 et Pn−2, puis||Pn||2= (Pn |XPn−1).
(d) Orthonormaliser la base canonique deE3.
Exercice 3 Espaces euclidiens
1. SoitE pré-hilbertien réel etF un sous-espace vectoriel de dimension finie. SoitudansF,v dans E et v0 le projeté orthogonal dev surF. Montrer(u|v) = 0⇔(u|v0) = 0.
2. SoitE un espace euclidien etu,vetwtrois vecteurs deE. Montrer||u+v||+||v+w||+||w+u|| ≤
||u||+||v||+||w||+||u+v+w||.
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