Produit scalaire
Exercice 1. Produits scalaires ?
Dire si les applications suivantes sont des produits scalaires :
1) E=R2, ((x, x0)|(y, y0)) =axy+bxy0+cx0y+dx0y0 (étudier ((1, t)|(1, t)),t∈R).
2) E=Rn, ((x1, . . . , xn)|(y1, . . . , yn)) =aP
ixiyi+bP
i6=jxiyj (on montrera que (Pxi)26nPx2i).
3) E=Rn[X], (P |Q) =Pn
i=0P(i)Q(i).
Exercice 2. Intégrale double
SoitD le disque unité fermé deR2. On considère l’espace Edes fonctions f :D→Rde classeC1 nulles sur le bord, C, deD.
Pour f, g∈E, on pose (f |g) =RR
D
∂f
∂x
∂g
∂x+∂f∂y∂g∂y
dxdy. Montrer que c’est un produit scalaire.
Exercice 3. Produit scalaire
Soit E = C([a, b],R) et u : [a, b] → R une fonction continue par morceaux. On pose pour f, g ∈ E : (f |g) =Rb
t=au(t)f(t)g(t) dt.
1) A quelle condition surudéfinit-on ainsi un produit scalaire ?
2) Soient u, v deux fonctions convenables. A quelle condition les normes associées sont-elles équiva- lentes ?
Exercice 4. Produit scalaire ?
SoitE=C([a, b],R) et (an) une suite d’éléments de [a, b].
Pour f, g∈E, on pose : (f |g) =P∞
n=02−nf(an)g(an).
1) A quelle condition sur la suite (an) définit-on un produit scalaire ?
2) Soienta= (an) etb= (bn) deux telles suites telles que les ensembles{an, n∈N}et {bn, n∈N} sont distincts. Montrer que les normes correspondantes sont non équivalentes.
3) Question ouverte : à quelle condition les normes associées à deux suites (an) et (bn) sont-elles équiv- alentes ?
4) Montrer qu’il n’existe pas de suite (an) pour laquelleEsoit complet.
Exercice 5. Base de Schmidt
Trouver une base orthonormée deR3[X] pour le produit scalaire : (P |Q) =R1
t=−1P(t)Q(t) dt.
Exercice 6. Base de Schmidt
Soit E =R2[X] muni du produit scalaire : (P | Q) =P4
i=0P(i)Q(i). Chercher une base orthonormée deE.
Exercice 7. Trouvez le produit scalaire
Soit (Pn)n∈N une suite de polynômes à coefficients réels de degrés étagés (degPn =n). Montrer qu’il existe un unique produit scalaire surR[X] pour lequel la famille (Pn) est orthonormée.
Exercice 8. Somme directe orthogonale
SoitEun espace préhilbertien etF1, . . . , Fn des sev tels que pouri6=j,Fi⊥Fj. Montrer que la somme F1+. . .+Fn est directe.
Exercice 9. Espace`2
SoitE l’ensemble des suites (un)n∈Nà termes réels telles que la sériePu2n converge.
Pour u, v∈E, on pose : (u|v) =P∞ n=0unvn. 1) Montrer queEest un espace vectoriel sur R. 2) Montrer que (u|v) existe.
3) Montrer qu’on définit ainsi un produit scalaire surE.
4) Montrer queE, muni de la norme associée, est complet.
Exercice 10. f(x)⊥x⇒f = 0
Soit E un espace vectoriel préhilbertien complexe et f ∈ L(E) tel que pour tout vecteur x ∈ E, on a f(x)⊥x.
1) Montrer que pour tous vecteursx, y∈E, on a (f(x)|y) = 0.
2) Montrer quef = 0.
3) Comparer avec le cas réel.
Exercice 11. Équation du second degré
SoientE ev euclidien,a∈E etα, β, γ∈Ravecα6= 0. Résoudre l’équationα(x|x) +β(x|a) +γ= 0.
Exercice 12. Inégalité de Cauchy-Schwarz
SoitE l’ensemble des fonctions : [a, b]→R+∗continues etΦ:
E −→ R f 7−→ Rb
a f×Rb a1/f.
Montrer que min{Φ(f) tq f ∈E}= (b−a)2et chercher les fonctions réalisant le minimum.
Exercice 13. Inversion
SoitE un ev euclidien. On pose pourx6= 0 : i(x) = x kxk2.
1) Montrer queiest une involution et conserve les angles non orientés de vecteurs.
2) Vérifier que : ∀x, y∈E\ {0}, ki(x)−i(y)k=kx−yk kxkkyk. 3) Déterminer l’image pari:
a) d’un hyperplan affine ne passant pas par 0.
b) d’une sphère passant par 0.
c) d’une sphère ne passant pas par 0.
Exercice 14. Inégalité de Ptolémée SoitE un espace euclidien.
1) Pourx∈E\ {0}, on posef(x) = x
kxk2. Montrer que : ∀x, y∈E\ {0},kf(x)−f(y)k=kx−yk kxkkyk. 2) Soienta, b, c, d∈E. Montrer que ka−ckkb−dk6ka−bkkc−dk+kb−ckka−dk. Indication : se
ramener au casa= 0 et utiliser l’applicationf. Exercice 15. Calcul de distance
On munitE=Rn[X] du produit scalaire : PourP =P
iaiXi etQ=P
ibiXi, (P |Q) =P
iaibi. Soit H ={P ∈E tqP(1) = 0}.
1) Trouver une base orthonormale deH. 2) Calculerd(X, H).
Exercice 16. Calcul de minimums Calculer le minimum surR2def :
R2 −→ R (a, b) 7−→ Rπ
x=0(sinx−ax2−bx)2dx.
Exercice 17. Calcul de minimums
1) Soitϕ:Rn→Rdéfinie parϕ(x1, . . . , xn) =R1
t=0(1 +tx1+. . .+tnxn)2dt. Montrer queϕadmet un minimum absolu et le calculer lorsquen= 3.
2) Même question avecψ(x1, . . . , xn) =R+∞
t=0 e−t(1 +tx1+. . .+tnxn)2dt.
Exercice 18. Expression analytique
Soit E un espace euclidien de dimension 4, B = (e1, . . . , e4) une base orthonormée de E, et F le sev d’équations dans B:
x+y+z+t= 0 x+ 2y+ 3z+ 4t= 0 1) Trouver une base orthonormée deF.
2) Donner la matrice dansBde la projection orthogonale surF. 3) Calculerd(e , F).
Exercice 19. Projection sur un hyperplan
On munit Rn du produit scalaire usuel. Soit H = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn tqa1x1 +. . . +anxn = 0}
où a1, . . . , an sont des réels donnés non tous nuls. Chercher la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale surH.
Exercice 20. Caractérisation des projections orthogonales
SoitE un ev euclidien etp∈ L(E) une projection. Montrer que :
pest une projection orthogonale⇔ ∀x, y∈E, (x|p(y)) = (p(x)|y)⇔ ∀x∈E, kp(x)k6kxk.
Pour la deuxième caractérisation, considérer x∈(Kerp)⊥ et faire un dessin.
Exercice 21. Composition de projecteurs
SoientF,Gdeux sev d’un ev euclidienEtels queF⊥⊥G⊥. On notepFetpGles projections orthogonales surF et surG. Montrer quepF +pG−pF∩G= idE etpF◦pG =pG◦pF =pF∩G.
Exercice 22. Projecteurs commutant
SoitE un espace vectoriel euclidien etp,qdeux projections orthogonales. Montrer quepetqcommutent si et seulement si (Imp∩Imq)⊥∩Impet (Imp∩Imq)⊥∩Imqsont orthogonaux.
Exercice 23. Caractérisation des bases orthonormales
SoitE un ev euclidien, ete1, . . . , en des vecteurs unitaires tels que : ∀x∈E,kxk2=Pn
i=1(x|ei)2. 1) Démontrer que (e1, . . . , en) est une base orthonormale deE.
2) On remplace l’hypothèse : ei unitaire par : dimE=n.
a) Démontrer que (e1, . . . , en) est une base deE.
b) Démontrer que : ∀x, y∈E, (x|y) =Pn
i=1(x|ei)(y|ei).
c) On noteGla matrice de Gram dee1, . . . , en. Démontrer queG2=Get conclure.
Exercice 24. Polytechnique MP∗ 2000
Soit E un espace euclidien, (yj)j∈I une famille de vecteurs de E telle qu’il existe A et B strictement positifs vérifiant :
∀x∈E, Akxk26X
j∈I
(x|yj)26Bkxk2. 1) Montrer que (yj)j∈I engendreE.
2) On choisitE=R2. Montrer quey1=0
1
,y2=−√3/2
−1/2
, y3=y2 conviennent.
3) SiA=B= 1 etkyjk= 1 pour toutj, montrer que (yj)j∈I est une base orthonormale.
4) SiA=B, montrer que pour toutx∈E, x= 1 A
P
j∈I(x|yj)yj. Exercice 25. Déterminant de Gram
SoitE un espace préhilbertien etu1, . . . , un ∈E. On note G= (gij)∈ Mn(K) la matrice de Gram de ces vecteurs (gij= (ui |uj)).
1) On supposeE de dimension finie, rapporté à une base orthonorméeB= (e1, . . . , ep). ExprimerGen fonction deM = MatB(u1, . . . , un).
2) En déduire que det(G) est un réel positif ou nul, et nul si et seulement si les vecteursui sont liés.
3) Montrer le même résultat sans supposer queE est de dimension finie.
4) Examiner le cas particuliern= 2.
5) Application : Le tétraèdreABCDest tel queAB=AC=AD= 1 et (AB, AC)≡ π4, (AB, AD)≡ π3, (AC, AD)≡ π2. Calculer son volume.
Exercice 26. Angles>2π/3
SoitE un espace euclidien de dimension supérieure ou égale à 3. Montrer qu’il n’existe pas trois vecteurs u1, u2, u3unitaires faisant entre eux deux à deux des angles strictement supérieurs à 2π3.
Exercice 27. Matrice de Gram
Soient x1, . . . , xn des vecteurs d’un ev euclidienE, etG(x1, . . . , xn) leur matrice de Gram.
1) Montrer que rgG(x1, . . . , xn) = rg(x1, . . . , xn).
2) Montrer que detG(x1, . . . , xn) est inchangé si on remplacexk parxk−P
i6=kλixi. 3) SoitF = vect(x1, . . . , xn) et x∈E. On noted(x, F) = min(kx−yk, y∈F).
Montrer qued(x, F)2=detG(x1, . . . , xn, x) detG(x1, . . . , xn) . Exercice 28. Congruence des matrices de Gram
SoitE un ev hermitien etB,B0 deux bases quelconques. On noteP la matrice de passage deBà B0, et G, G0 les matrices de Gram deB etB0. Quelle relation y a-t-il entreP,Get G0 ?
Exercice 29. Gram(u(ei))
SoitE un espace vectoriel euclidien,u∈ L(E) et (e1, . . . , en) une base quelconque de E. On noteGle déterminant de Gram. Montrer queG(u(e1), . . . , u(en)) = (detu)2G(e1, . . . , en).
Exercice 30. Forme quadratique associée à la matrice de Gram
SoitE un espace euclidien, (e1, . . . , en) une base deE,Gsa matrice de Gram etG−1= (aij).
Montrer que : ∀x∈E,P
i,jaij(ei|x)(ej|x) =kxk2. Exercice 31. Vecteur défini par ses produits scalaires
Soient f1, f2, . . . , fn: [0,1]→Rcontinues.
Existe-t-ilf : [0,1]→Rcontinue telle que : ∀i,R1
t=0f(t)fi(t) dt= 1 ? Exercice 32. Famille duale de1, X, X2, . . .
1) Montrer qu’il existe des polynômesP0, . . . , Pn ∈Rn[X] tels que : ∀i, j6n,R+∞
t=0 e−ttiPj(t) dt=δij. 2) Montrer qu’il n’existe pas de suite de polynômes (P0, . . . , Pn, . . .) telle que :
∀i, j∈N,R+∞
t=0 e−ttiPj(t) dt=δij. Exercice 33. DécompositionQR
1) SoitM ∈ Mn(R) inversible. Montrer qu’il existe une matrice orthogonale, P, et une matrice trian- gulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs,T, uniques telles queM =P T.
2) Application : inégalité de Hadamard. Soit E un espace vectoriel euclidien, (e1, . . . , en) une base orthonormée, etu1, . . . , un des vecteurs quelconques.
Démontrer que|det(ei)(uj)|6Q
jkujk. Étudier les cas d’égalité.
Exercice 34. Coefficients diagonaux dans la méthode de Schmidt
Soit E un espace euclidien, B = (u1, . . . , un) une base de E et B0 = (e1, . . . , en) la base orthonormée déduite deB par la méthode de Schmidt. On noteP la matrice de passage deB àB0.
Montrer quePii×d(ui,vect(u1, . . . , ui−1)) = 1.
Exercice 35. Coordonnées des vecteurs de Schmidt
Soit E un espace euclidien, B = (u1, . . . , un) une base de E et B0 = (e1, . . . , en) la base orthonormée déduite deB par la méthode de Schmidt.
On noteGn le déterminant de Gram de u1, . . . , un, et∆i,n le cofacteur de (ui|un) dansGn. Montrer queen = 1
pGn−1Gn Pn
i=1∆i,nui. Exercice 36. det(tAA)
SoitA∈ Mn,p(R). Montrer que det(tAA)>0.
Exercice 37. Polynômes orthogonaux SoitE =R[X]. On pose (P |Q) =R1
t=0P(t)Q(t) dt 1) Démontrer que (|) est un produit scalaire surE.
2) Démontrer qu’il existe une unique famille (P0, P1, . . . , Pn, . . .) de polynômes vérifiant :
degPi =i
le coefficient dominant dePi est strictement positif la famille (Pi) est orthonormée.
Exercice 38. Polynômes orthogonaux SoitE=Rn[X] et (P |Q) =R1
t=0P(t)Q(t) dt.
1) Montrer queE, muni de (|), est un espace euclidien.
2) SoitK=Rn−1[X]⊥ et P∈K\ {0}. Quel est le degré deP ? 3) SoitΦ:x7→R1
t=0P(t)txdt. Montrer queΦest une fonction rationnelle.
4) TrouverΦà une constante multiplicative près.
5) En déduire les coefficients deP. 6) En déduire une base orthogonale deE.
Exercice 39. Réduction en carrés d’une forme quadratique
Soient f1, . . . , fp,pformes linéaires surRn telles que rg(f1, . . . , fp) =n.
En considérant le produit scalaire : (x|y) = Pp
i=1fi(x)fi(y), démontrer qu’il existe nformes linéaires g1, . . . , gn telles que :
∀x∈Rn,
p
X
i=1
fi(x)2=
n
X
i=1
gi(x)2. exemple : réduirex2+ (x+y)2+ (x+ 2y)2
Exercice 40. Famille de vecteurs unitaires équidistants
SoitE un ev euclidien, et (x1, . . . , xn) une famille libre. Démontrer qu’il existe une famille (u1, . . . , un) vérifiant :
ui est unitaire, kui−ujk= 1, vect(u1, . . . , ui) = vect(x1, . . . , xi).
Démontrer que toute famille (u1, . . . , un) vérifiant les deux premières propriétés est libre.
Exercice 41. Famille obtusangle
SoitE un ev euclidien etu1, . . . , un une famille de vecteurs vérifiant : ∀i6=j, (ui |uj)<0.
1) On suppose (u1, . . . , un) libre. Soit (e1, . . . , en) la famille de Schmidt associée et M la matrice de passage de (u1, . . . , un) à (e1, . . . , en). Montrer queM est à coefficients positifs.
2) Dans le cas général, démontrer par récurrence surnque rg(u1, . . . , un)>n−1.
3) Si rg(u1, . . . , un) =n−1, démontrer que toute famille den−1 vecteurs extraite de (u1, . . . , un) est libre, et que les composantes dans cette famille du vecteur retiré sont strictement négatives.
Exercice 42. F+F⊥6=E
SoitE=C([0,1],R) muni du produit scalaire : (f |g) =R1
t=0f g(t) dt, etF ={f ∈E tqf(0) = 0}.
Montrer queF⊥={0}.
Exercice 43. Forme linéaire surR2[X]
On munitR2[X] du produit scalaire : (P |Q) =R1
t=0P Q(t) dt.
1) Vérifier que c’est effectivement un produit scalaire.
2) Soitϕ:
R2[X] −→ R
P 7−→ P(0). Trouver le polynômeAtel que : ∀P ∈R2[X],ϕ(P) = (A|P).
Exercice 44. Norme uniforme surR3[X]
SoitP ∈R[X] de degré inférieur ou égal à 3 tel que R1
t=−1P2(t) dt= 1.
Montrer que sup{|P(x)|tq −16x61}62√ 2.
Indication : poura∈Rmontrer qu’il existePa∈R3[X] tel que : ∀P ∈R3[X],P(a) =R1
t=−1P(t)Pa(t) dt.
Calculer explicitementPa, et appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
Exercice 45. Hanh-Banach pour une boule
SoitEun espace préhilbertien réel etB une boule ouverte deE ne contenant pas 0. Montrer qu’il existe une forme linéairef ∈E∗ telle que : ∀x∈B, f(x)>0.
Exercice 46. Orthogonal deR[X]
SoitE=C([0,1],R) muni du produit scalaire usuel,F le sev des fonctions polynomiales etg la fonction exponentielle sur [0,1].
1) Montrer queg /∈F.
2) Montrer qu’il existe une suite (fn) de fonctions polynomiales convergeant versg pour la norme eucli- dienne.
3) En déduire queF n’a pas de supplémentaire orthogonal.
Exercice 47. Orthogonal d’un hyperplan
SoitE=C([0,1],R) muni du produit scalaire usuel et, pourf ∈E : ϕ(f) =R12
t=0f(t) dt.
1) Montrer queϕest continue.
2) Montrer queH= Kerϕest fermé.
3) Montrer queH⊥={0}.
Exercice 48. Centrale MP 2000 SoitE=C1([0,1],R) et ϕ(f, g) =R
[0,1]f g+f0g0. 1) Montrer queϕest un produit scalaire.
2) Soit V = {f ∈ E tqf(0) = f(1) = 0} et W = {f ∈ E tqf00 = f}. Montrer que V et W sont supplémentaires orthogonaux et exprimer la projection orthogonale surW.
3) SoitEαβ={f ∈E tqf(0) =αetf(1) =β}. Déterminer inff∈EαβR
[0,1]f2+f02. Exercice 49. ku(x)k6kxk
SoitE un espace euclidien etu∈ L(E) tel que∀x∈E,ku(x)k6kxk.
Montrer queE= Ker(u−id)⊕⊥Im(u−id).
Exercice 50. X MP∗2000
Soit E un espace euclidien de dimension n >1. Trouver toutes les fonctions f deE dans Rcontinues telles queu⊥v⇒f(u+v) =f(u) +f(v).
Exercice 51. Magistère de Ker Lann 2010 1) Calculer pour (i, j)∈N2 : lim
n→∞
n
X
k=0
1 2k
1 2k
i 1 2k
j . 2) SoientP, Q∈R[X]. Calculer lim
n→∞
n
X
k=0
1 2kP1
2k Q1
2k .
3) On note (P |Q) cette limite. Justifier qu’on définit ainsi un produit scalaire surR[X].
4) Soit la forme linéaireΦ:
R[X] −→ R P 7−→ P(0).
Montrer qu’il n’existe pas deQ∈R[X] tel que, pour toutP ∈R[X],Φ(P) = (P |Q). Commenter.
Exercice 52. Familles libres, Mines 2015
Soit (E,(|)) un espace préhilbertien. Montrer queA={(x, y)∈E×E,(x, y) est libre} est ouvert.
Exercice 53. Mines 2017
SoientA∈ Mn(R),λ∈R,X, Y ∈ Mn,1(R) tels queAX=λX,tY A=λtY,tY X 6= 0 et rg(A−λIn) =
solutions
Exercice 1.
1) a >0, b=c, d >0, ad−bc >0.
2) a−b >0 eta+ (n−1)b >0.
Exercice 3.
1) u>0 etu−1(0) est d’intérieur vide.
2) Il existeα, β >0 tels queαu6v6βu.
Exercice 4.
1) (an) est partout dense.
4) Si lesan sont distincts, on choisit pour tout nune fonction fn comprise entre 0 et 1 valant alterna- tivement 1 et−1 ena0, . . . , an. Alors la suite (fn) est de Cauchy mais ne converge pas car sifn→f alorsf2= 1, absurde.
Exercice 5.
√1 2, Xq
3
2,(3X2−1) q5
8+ (5X3−3X) q7
8
. Exercice 6.
√1 5,X−2√
10,X2−4X+2√
14 . Exercice 10.
1) (f(x)|y) =−(f(y)|x) et (f(ix)|y) =−(f(y)|ix).
Exercice 11.
sphère de centre−βa
2α, ce point ou∅. Exercice 12.
f = cste.
Exercice 13.
2) Élever au carré.
3) a)(x|u) = 1⇔(i(x)|u−i(x)) = 0 : sphère passant par 0.
b) hyperplan ne passant pas par 0.
c) kx−ak2=R2⇔
x− a
kak2−R2
2
= R2
(kak2−R2)2 : sphère ne passant pas par 0.
Exercice 14.
1) Élever au carré.
Exercice 15.
2) 1/√ n+ 1.
Exercice 16.
a= π203 −320π5,b= 240π4 −12π2,m= π2 −8π+160π3 −1280π5 . Exercice 17.
1) 161. 2) 14. Exercice 18.
1) (√1
6(1,−2,1,0),√1
30(2,−1,−4,3)).
2) 101
3 −4 −1 2
−4 7 −2 −1
−1 −2 7 −4
2 −1 −4 3
.
3) q
7 10.
Exercice 19.
1
Pa2i(I−(aiaj)).
Exercice 22.
Si p◦q=q◦p: Soientx∈(Imp∩Imq)⊥∩Impety∈(Imp∩Imq)⊥∩Imq.
Alorsp◦q(x) =q(x)∈Imp∩Imq, donc (q(x)|y) = (x|y) = 0.
SiA= (Imp∩Imq)⊥∩ImpetB= (Imp∩Imq)⊥∩Imqsont orthogonaux : Alors Imp= (Imp∩Imq)⊕⊥ A, Imq = (Imp∩Imq) ⊕⊥ B, etE = (Imp∩Imq)⊕⊥ A ⊕⊥ B ⊕⊥ (Imp⊥∩Imq⊥). Par décomposition, on obtientp◦q=q◦p= la projection orthogonale sur Imp∩Imq.
Exercice 23.
1) Pn
i=1(ej |ei)2= 1⇒famille orthonormée et vect(ei)⊥ ={0}.
Exercice 24.
1) Le sev engendré a un orthogonal nul.
2) N’importe quelle famille génératrice convient (équivalence des normes).
3) 1 =kyik2=kyik4+P
j6=i(yi|yj)2⇒ ∀j6=i, (yi|yj) = 0.
4) Par polarisation on a : ∀x, y,P
j∈I(x|yj)(y|yj) =A(x|y) doncP
j∈I(x|yj)yj−Ax∈E⊥. Exercice 25.
5) 121. Exercice 26.
ku1+u2+u3k2<0.
Exercice 30.
SoitBune base orthonormée deE etP la matrice de passage deB à (ei).
Le premier membre vaut tXP G−1tP X=tXX.
Exercice 32.
2) SoitP0 =Q00. Par IPP on obtientQ0 est orthogonal à la famille (jXj−1−Xj)j>1 qui est une base deR[X] doncQ0= 0 =P0 etR+∞
t=0 e−tt0P0(t) dt6=δ0,0. Exercice 35.
SoitX la matrice deen dansB. On aGX =
0 .. . 0 λ
et tXGX=λxp= 1. On applique alors les formules de Cramer.
Exercice 38.
3) R1
t=0tktxdt= 1/(k+x+ 1).
4) Φa pour pôles au plus simples−1,−2, . . . ,−n−1 et pour racines 0,1, . . . , n−1. CommeΦ(x) −→
x→∞0 on a doncΦ(x) =λx(x−1). . .(x−n+ 1)
(x+ 1). . .(x+n+ 1) . 5) ak = résidu deΦen−k−1 = (−1)n+kλ (n+k)!
(k!)2(n−k)!. Exercice 39.
x2+ (x+y)2+ (x+ 2y)2= (√
3(x−y))2+ (√ 2y)2. Exercice 42.
f ∈F⊥⇒xf ⊥f. Exercice 43.
2) 30X2−36X+ 9.
Exercice 44.
Pa(t) = 38(3−5t2−5a2+ 15a2t2) +58at(15−21t2−21a2+ 35a2t2),
8kPak2= 9 + 45a2−165a4+ 175a6 est maximal poura=±1 etkPak= 2√ 2.
Exercice 47.
3) Soit g ∈ H⊥ non nulle. Les formes linéaires : f 7→ R12
0 f et f 7→ R1
0 f g sont nulles sur H, donc proportionnelles, ce qui est impossible pourg continue.
Exercice 48.
2) π(f)(t) =f(0)sh(1−t)
sh(1) +f(1)sh(t) sh(1).
3) L’inf est atteint pour la fonctionf ∈W telle quef(0) =αetf(1) =β, soitf(t) =αsh(1−t)
sh(1) +β sh(t) sh(1) et inf = (α2+β2) ch(1)−2αβ
sh(1) .
Exercice 49.
Soient x∈Ker(u−id) ety=u(z)−z∈Im(u−id). On ay=u(z+λx)−(z+λx) d’où : kz+λxk2>ku(z+λx)k2=kz+λxk2+ 2λ(x|y) + 2(z|y) +kyk2. En faisant tendreλvers±∞on obtient (x|y) = 0 et on conclut avec le thm. du rang.
Exercice 50.
f linéaire etf =x7→ kxk2 conviennent et l’ensemble E des fonctions f vérifiant la propriété est stable par combinaison linéaire donc toute fonction de la formex7→`(x) +akxk2avec`∈E∗ eta∈Rconvient.
On montre que ce sont les seules : Soitf ∈ E l’on décompose en sa partie paireg et sa partie impaireh.
Alorsg, h∈ E.
Soientx, y∈Eaveckxk=kyketx⊥y. On ah(x±y) =h(x)±h(y) eth(2x) =h(x+y)+h(x−y) = 2h(x).
Ensuite, h(2x) +h(x)−h(y) =h(2x+y) +h(x−2y) =h(3x−y) =h(3x)−h(y) d’oùh(3x) = 3h(x) et de proche en procheh(kx) =kh(x) pourk∈Npuis pourk∈Z,Q,Rsuccessivement vu la continuité def. En prenant une base (e1, . . . , en) orthonormale on ah(x1e1+. . .+xnen) =x1h(e1) +. . .+xnh(en) pour tousx1, . . . , xn réels donchest linéaire.
Soient à présentx, y∈E aveckxk=kykalorsg(x+y) +g(x−y) =g(2x) etg(x+y) +g(y−x) =g(2y) d’où g(2x) = g(2y). Ainsi g est constante sur les sphères de centre 0. On écrit g(x) = ϕ(kxk2) avec ϕ:R+→Rprolongée àRpar imparité (g(0) = 0 de manière évidente).
On a alors ϕ(a2+b2) = g(ae1+be2) = g(ae1) +g(be2) = ϕ(a2) +ϕ(b2) d’où l’on conclut que ϕ est linéaire.
Exercice 51.
1) 2i+j+1 2i+j+1−1.
2) DécomposerP, Q sur la base canonique deR[X]. On peut aussi remarquer que la série converge car P et Qsont bornés sur [0,1].
4) SiQexiste alors pourP =Xn on obtient : S0=
∞
X
k=0
2−kQ(2−k) = 1 etSn=
∞
X
k=0
2−(n+1)kQ(2−k) = 0 pour toutn61.
On a facilementSn −→
n→∞Q(1), d’oùQ(1) = 0 et 2n+1Sn=P∞
k=12−(n+1)(k−1)Q(2−k) −→
n→∞Q(12). Ainsi Q(12) = 0 et de proche en proche,Q(2−k) = 0 pour tout k. Ceci implique Q = 0, en contradiction avec la valeur de S0. Ainsi Φ n’est pas représentable par un produit scalaire, ce qui fournit un contre-exemple au théorème de Riesz en dimension infinie. On peut remarquer d’ailleurs que Φ est discontinue pour le produit scalaire choisi : siPn = (1−X)(1−2X). . .(1−2nX), on aΦ(Pn) = 1 et kPnk2=P∞
k=n+12−kP2(2−k)6P∞
k=n+12−k −→
n→∞0.
Exercice 52.
On considèref :
E×E −→ R
(x, y) 7−→ kxkkyk − |(x|y)|. On a, en appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, A=f−1(]0,+∞[), donc c’est un ouvert carf est continue etR∗ ouvert.
Exercice 53.
CommeX6= 0 (ou rg(A−λIn)< n),λest effectivement valeur propre deA. L’ensembleEestY⊥, c’est un hyperplan deMn,1(R) et la relationtY A=λtY montre qu’il est stable parA. De plus,X /∈E donc Mn,1(R) =E⊕ hXiet ces deux sous-espaces sont stables parA, d’oùχA(x) =χA|E(x)(x−λ). Il n’y a plus qu’à prouver queλn’est pas valeur propre deA|E et ceci résulte des faits que le sous-espace propre est de dimension 1 et contient déjàX.
