Chapitre 5
Produit Scalaire
5.1 Produit Scalaire dans le plan (rappels)
Définition 1
Soit−→u et−→v deux vecteurs du planP. Le produit scalaire de−→u et−→v, noté−→u · −→v, est le réelk−→uk × k−→vk ×cos(−→u ,−→v).
Si−→u =−→0 ou−→v =−→0, on pose −→u · −→v = 0
Remarques :
• −→u · −→v = 0 si, et seulement si, −→u =−→0 ou−→v =−→0 , ou−→u et−→v sont orthogonaux.
• −→u · −→u =−→u2=k−→uk2 qui est le carré scalaire de−→u.
Propriété 1 Soit−→u =−−→
AB,−→v =−→
AC, etH la projection orthogonale deCsur la droite (AB), on a : 1. −→u · −→v =AB×AH si−−→ABet−→AC ont le même sens.
2. −→u · −→v =−AB×AH si −−→
ABet−→
AC sont de sens contraire.
Dans les deux cas on a−→u · −→u =−−→
AB·−→
AC.
Propriété 2 (commutativité, associativité et distributivité) Soit−→u,−→v et−→w trois vecteurs du planP etk un nombre réel. On a :
• −→u · −→v =−→v · −→u.
• (k−→u)· −→v =k(−→u · −→v) =−→u ·(k−→v)
• −→u ·(−→v +−→w) =−→u · −→v +−→u · −→w
Déterminer à partir de la propriété 2 les trois identités remarquables du produit scalaire.
Propriété 3 (produit scalaire dans ron)
Soit(O;−→i ,→−j)un repère orthonormal du planC et les vecteurs−→u et−→v de coordonnées respectives(x;y)et(x′;y′).
On a−→u · −→v =xx′+yy′.
Définition 2
Tout vecteur non nul, orthogonal à un vecteur directeur d’une droiteD, est appelévecteur normalàD
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CHAPITRE 5. PRODUIT SCALAIRE
Applications :Dans le plan muni repère orthonormal (O;−→ i ,−→
j), soit les pointsA(1;−2),B(3; 6) et le vecteur−→n(2;−3) : 1. Déterminer une équation cartésienne de la droite ∆ passant parAet de vecteur normal −→n.
2. Déterminer une équation du cercle de diamètre [AB].
Remarques :Dans le repère orthonormal (O;−→ i ,−→
j) du planP, toute droiteDa une équation cartésienne de la forme ax+by+c= 0 ouaet bsont les coordonnées d’un vecteur normal àD.
Propriété 4 (distance d’un point à une droite) Le plan est muni repère orthonormal(O;−→i ,−→j).
SoitD la droite contenant le pointA, de vecteur normal−→n et d’équation cartésienneax+by+c= 0.
La distance d’un pointM(α;β)à la droiteD est la longueurM H oùH est la projection orthogonale deM surD. On a
M H=
−−→AM· −→n
k−→nk = aα+bβ+c
√a2+b2 .
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