PRODUIT SCALAIRE

2

1

A B

C D

1;2. . . la figure n’est pas à l’échelle. . .

B C

A α

3 4

5

3;4;5. . . la figure n’est pas à l’échelle. . .

B C

A α

β γ

7

6 8

6;7;8. . . la figure n’est pas à l’échelle. . .

12

13 α

A B

C D

E 12;13

Cela revient à m’identifier commeM. Léon, ou bienLe prof de maths, oupapa. . . selon le contexte, une dénomination est préférable à une autre, mais on parle toujours de la même personne.

PRODUIT SCALAIRE

Ce chapitre est l’occasion de découvrir une nouvelle opération :le produit scalaire.

Le produit scalaire est une opération (fonction) qui prend en arguments deux vecteurset qui renvoieun réel.

Comptine

;; . . . ABCD est un parallélogramme : calculer AC²+ BD².

;;. . . Déterminer la valeur deαen radians.

;;. . . Donner les valeurs des anglesα,βetγen radians.

;; Soient les droites : D1: 10x−9y+ 11 = 0 et D2:y= 10x+ 11y−9 = 0.

Déterminer leur positions relatives.

; E est le milieu de [AB], déterminer une mesure de l’angeα.

 . Produit scalaire dans le plan

 .  Norme d’un vecteur

la norme du vecteur−−→AB est la distance AB, donc les vecteurs−−→AB et −−→BA ont même norme.

La norme du vecteur −−→AB se note

−−→AB

Dans un repère orthonormé, avec A(xA;yA) et B(xB;yB) : AB =

−−→AB =p

(xB−xA)²+ (yB−yA)².

 .  Définition du produit scalaire

Il existe quatre définitions du produit scalaire ! Elles sont équivalentes, mais suivant les situations l’une est préférable aux autres.

le produit scalairese note·(un point).

L’angle géométrique est celui mesuré avec le rapporteur (en demi-cercle) : sa mesure est donc comprise dans [0;π[ (en radians).

• siu~ou~vest le vecteur nul, alorsu~·v~= 0

• Siu~et~vsont différents du vecteur nul, alorsu~·~v= u~

×

~v

×cos(~u, ~v)

F. Leon (--) prod_scal LATEX document /

α

−α

Attention :u~²est unenotationpour simplifier l’écritureu~·u. La notion de~

puissance n’existe pas avec le produit scalaire ! imaginons~u³:u~³=

~ u²

·u. mais~ u~²est un réel et le produit scalaire ne s’applique qu’à deux vecteurs !

α

A B

C

H

α π−α

A B

C

H

+ + + + +

+

+

+

O C^′ B^′ D^′ A

C

B

D

Remarques

a) Symétrie du produit scalaire

on sait que cos(~u, ~v) = cos(~v, ~u), doncu~·v~=~v·u~ b) Opposé

~

u·(−~v) = ~u

×

−~v

×cos(~u,−~v)

⇔ ~u

× ~v

×(−cos(~u, ~v))

⇔ −~u·~v c) carré scalaire

~ u·~u=

~u ×

~u

×cos(~u, ~u)⇔ ~u

2×cos0⇔ ~u

2

On définit donc lanotationu~²= ~u

2.

 .  Orthogonalité et produit scalaire

Soient A, B et C trois points distincts du plan et H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB).

−−→AB·−−→AC =

−−→AB ×

−−→AC ×cosα.

• si −−→AB et−−−→AH sont de même sens, alors

◦ AH = AC×cosα(schéma) ; donc−−→AB·−−→AC =

−−→AB ×

−−−→AH

◦ et on a aussi : −−→AB·−−−→AH = AB×AH×cos0 = AB×AH ;

◦ donc dans ce cas −−→AB·−−→AC =−−→AB·−−−→AH

• si −−→AB et−−−→AH sont de sens contraire, alors

◦ AH = ACcos(π−α) =−AC×cosα(schéma) ; donc−−→AB·−−→AC =−AB× AH

◦ et on a aussi :−−→AB·−−−→AH = AB×AH×cosπ= AB×AH×(−1) =−AB×AH ;

◦ donc dans ce cas −−→AB·−−→AC =−−→AB·−−−→AH Conclusion :

−−→AB·−−→AC =−−→AB·−−−→AH ( avec H projeté orthogonal de C sur la droite (AB)).

Propriété

~

u⊥v~⇔~u·~v= 0

 . Bilinéarité

 .  Démonstration dans un cas particulier

−−−→OA·−−−→OD = OA×OD⁰(projeté ortho)

Ici (faire en exercice le cas où D⁰est à une autre position)

−−−→OA·−−−→OD = OA×(OB⁰+ B⁰D⁰)

⇔ −−−→OA·−−−→OD = OA×(OB⁰+OC⁰) (les triangles hachurés sont isométriques).

⇔ −−−→OA·−−−→OD = OA×OB⁰+ OA×OC⁰

⇔ −−−→OA·−−−→OD =−−−→OA·−−→OB +−−−→OA·−−−→OC

⇔ −−−→OA·−−→OB +−−−→OC

=−−−→OA·−−→OB +−−−→OA·−−−→OC

On admet que quelque soient les vecteursu,~ v~etw~ :

/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2020_21/lycee/maths/1ere/cours/prod_scal/

Rappel :u~²= ~u

2

Remarque : ~u+~v

2− ~u

2− ~v

2= 0

⇔ u~+v~

2= u~

2+ v~

2

et doncu~·~v= 0⇔u~⊥~v.

On retrouve le théorème de Pythagore !

~

u·(~v+w) =~ u~·v~+u~·w.~

 .  Bilinéarité du produit scalaire

On retrouve les techniques de développement avec les réels. . . adaptées au produit scalaire.

Pour tous les vecteursu,~ ~vetw~et pour tout réelk:

• ~u·(~v+w) =~ u~·~v+u~·w.~

• ~u·(k~v) = (k ~u)·~v=k×u~·v~. Comptine «;»

 .  Identité scalaires remarquables

On parle parfois « d’identités scalaires remarquables » car on retrouve la même structure que les identités remarquables.

(~u+~v)·(~u+v~)=(~u+~v)·u~+(~u+~v)·~v

=u~·u~+~v·u~+u~·v~+~v·~v

=u~²+ 2~u·~v+~v².

or (~u+~v)·(~u+~v) = (u~+v~)² donc (~u+~v)²=u~²+ 2~u·v~+~v². De même : (~u−~v)²=~u²−2~u·~v+~v². et : (~u+~v)·(~u−~v) =~u²−~v²

Comptine «;»

 . Propriétés du produit scalaire

 .  Produit scalaire et normes

(~u+~v)²=u~²+ 2~u·~v+~v²

⇔u~·~v=1 2

(~u+~v)²−u~²−~v²

⇔u~·~v=1 2

~u+~v

2− ~u

2− ~v

2

De même :~u·~v=1 2

~u

2+ ~v

2− u~−~v

2

F. Leon (--) prod_scal LATEX document /

Remarque : si le triangle est rectangle enA, on retrouve le théorème de Pythagore

 .  Produit scalaire en repère orthonormé

Dans un repère orthonormé, avec~u







 x y







 et~v







 x⁰ y⁰







 :

• ~u

=p x²+y²

• le vecteuru~+~va pour coordonnées







 x+x⁰ y+y⁰









Donc

~ u·~v=1

2

~u+~v

2− ~u

2− ~v

2

⇔u~·~v=1 2

(x+x⁰)²+ (y+y⁰)²−(x²+y²)−(x⁰²+y⁰²)

⇔u~·~v=1

2(2xx⁰+ 2yy⁰)

⇔u~·~v=xx⁰+yy⁰ Comptine «;;»

 . Calcul de longueurs et d’angles

 .  Transformation de l’expression

 .  Formules d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle, en posant : AB =c, BC =aet CA =b, on a : a²=b²+c²−2bccos ˆA

Comptine «;;»

Déclicere spé Maths, p

/media/fred/Données/Mes documents/_fred/WORK/MATH/2020_21/lycee/maths/1ere/cours/prod_scal/