Produit scalaire

Chapitre 6

Produit scalaire

6.1 D´ efinition et cons´ equences

D´efinition 1

On se place dans un rep`ere orthonorm´e du plan. Soient−→u(x;y)et −→v(x⁰;y⁰)deux vecteurs. On appelle produit scalaire de

−

→u et −→v le r´eel not´e−→u .−→v et d´efini par :

−

→u .−→v =xx⁰+yy⁰ Exemple :

Avec−→u(1; 2) et−→v(2; 3), on obtient−→u .−→v = 2 + 6 = 8.

Remarques :

• −→u .−→u =x²+y²=||−→u||², on notera parfois||−→u||²=−→u²

• Si l’un des deux vecteurs−→u ou−→v est nul alors le produit scalaire est nul. Cependant la r´eciproque est fausse−→u .→−v = 0 n’implique pas n´ecessairement que −→u ou−→v soit le vecteur nul. Exemple : avec−→

i(1; 0) et−→

j(0; 1) on a−→ i .−→

j = 0 et pourtant ni−→

i ni−→

j ne sont le vecteur nul.

Th´eor`eme 1 Lien avec la norme.

Soient−→u et−→v deux vecteurs, on a l’´egalit´e suivante :

−

→u .−→v = 1 2

||−→u +−→v||²− ||−→u||²− ||−→v||² D´emonstration :

Dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) on consid`ere les vecteurs−→u(x;y) et−→v(x⁰;y⁰).

On a :

• ||−→u||²=x²+y²

• ||−→v||²=x⁰²+y⁰²

• ||−→u +−→v||²= (x+x⁰)²+ (y+y⁰)²=x²+ 2xx⁰+x⁰²+y²+ 2yy⁰+y⁰² d’o`u 1

2

||−→u +−→v||²− ||−→u||²− ||−→v||²

=xx⁰+yy⁰=→−u .−→v.

La norme d’un vecteur ´etant ind´ependante du rep`ere, on en d´eduit le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2

Le produit sclaire −→u .−→v est ind´ependant du rep`ere choisi.

1

On peut d´efinir de plusieurs mani`eres le produit scalaire, selon le contexte on utilisera l’une de ces expressions.

Th´eor`eme 3 D´efinitions ´equivalentes 1. −→u .−→v =1

2

||−→u +−→v||²− ||−→u||²− ||−→v||² . 2. −→u .−→v =

||−→u|| × ||−→v|| ×cos(−→u ,−→v) si−→u 6=−→0 et−→v 6=~0

0 sinon

3. −→u .−→v =

( −→u .−→

v⁰ si−→u 6=−→0 avec −→

v⁰ le projet´e orthogonal de−→vsur la direction donn´ee par −→u

0 sinon

D´emonstration :

Supposons que −→u 6=−→0 et−→v 6=−→0 et posons−→ i = →−u

||−→v||. Soit−→

j le vecteur tel que : (−→ i ,−→

j) =π

2 et||−→v||= 1 ainsi le rep`ere (O;−→ i ,−→

j) est rep`ere orthonorm´e direct.

Dans ce rep`ere on a−→u = (||−→u||; 0) et−→v = (||−→v||cosθ;||−→v||sinθ) avecθ= (−→u ,−→v) d’o`u :

−

→u .−→v = ce qui d´emontre (2).

Si on consid`ere−→

v⁰ le projet´e orthogonal de−→v sur la direction donn´ee par−→u on a−→v = (||−→v||cosθ; 0) d’o`u :

−

→u .−→

v⁰ =||−→u|| × ||−→v|| ×cos(−→u ,−→v) =−→u .−→v ce qui d´emontre (3).

6.2 Propri´ et´ es du produit scalaire

Propri´et´e 1 −→u, −→v et−→w sont trois vecteurs etλest un r´eel.

Commutativit´e : −→u .−→v =−→v .−→u Lin´earit´e :(λ−→u).−→v =λ−→u .−→v

Distibutivit´e :(−→u +−→v).−→w =−→u .−→w +−→v .−→w on a aussi :−→u .(−→v +−→w) =−→u .−→v +−→u .−→w

Justification :

En exprimant le produit scalaire dans une b.o.n, on d´emontre chacun des points de la propri´et´e.

Exemple : SoientA, Bet C trois points du plan, simplifier−−→ AB.−−→

BD−−→

AC.−−→

BD

−−→ AB.−−→

BD−−→

AC.−−→

−−→ BD AB.−−→

BD+−→

CA.−−→

BD (−−→

AB+−→

CA).−−→

−−→ BD CB.−−→

BD

Propri´et´e 2 Identit´es remarquables :

(−→u +−→v)²=−→u²+ 2−→u .−→v +−→v² (−→u − −→v)²=−→u²−2−→u .−→v +−→v² (−→u +−→v)(−→u − −→v) =−→u²− −→v²

D´emonstration : On a (−→u +−→v)²= (−→u +−→v).(−→u +−→v) on applique la distributivit´e du produit scalaire par rapport `a l’addition et la commutativit´e du produit scalaire. On obtient : (−→u +−→v)²=−→u²+ 2−→u .−→v +−→v²

Propri´et´e 3 In´egalit´es :

−||−→u|| × ||−→v|| ≤ −→u .−→v ≤ ||−→u|| × ||−→v||

||−→u +−→v|| ≤ ||−→v||+||−→v||

Th´eor`eme 4 orthogonalit´e

Deux vecteurs non-nuls sont orthogonaux si, et seulement si −→u .−→v = 0.

6.3 Applications du produit scalaire

6.3.1 Equation d’une droite ` a l’aide d’un vecteur normal

Dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j) on cherche `a determiner une ´equation de la droite4dont la direction est orthogonal au vecteur−→n(a;b) non-nul passant par le pointA(x_A;y_A).

M(x;y) appartient `a la droite4si et seulement si −−→

AM .−→n = 0 on a donc une

´equation de la droite4: (x−x_A)×a+ (y−y_A)×b= 0.

A

−

→n

4

Application :

Dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j), soient les pointsA(2; 1), B(0; 1) etC(1; 3).

D´eterminer une ´equation de la droitedpassant par le pointAet perpendiculaire `a la droite (BC) On a−−→BC(1; 2) etM(x;y) appartient `a la droitedsi et seulement, si

−−→AM .−−→

BC= 0

(x−2) + 2(y−1) = 0 x+ 2y−4 = 0 x+ 2y−4 = 0 est une ´equation de la droited.

6.3.2 Equation d’un cercle

Dans un rep`ere orthonorm´e (O;−→ i ,−→

j), on cherche `a determiner une ´equation d’un cercleC dans les deux cas suivants.

D´efini par son centre et son rayon :

Soit le cercleC de centre Ω(x⁰;y0) et de rayonr >0.

M(x;y) appartient au cercleCsi et seulement si ΩM²=r² on a donc une ´equation du cercleC :

(x−x0)²+ (y−y0)²=r².

D´efini par son diam`etre :

Soient A(x_A, y_A) etB(x_B, y_B) deux points distincts du plan et C le cercle de diam`etre [AB].

M(x;y) appartient au cercleCsi et seulement si−−→

AM .−−→

BM= 0 on a donc une ´equation du cercleC :

(x−x_A)×(x−x_B) + (y−y_A)×(y−y_B) = 0.

M

A B

6.3.3 Th´ eor` eme de la m´ ediane

Th´eor`eme 5 SoientM AB un triangle etI le milieu du segment[AB]on a :

• M A²+M B²= 2M I²+1 2AB²

• M A²−M B²= 2−−→

M I.−−→ BA

• −−→

M A.−−→

M B=M I²−IA²

M

A B

I D´emonstration :

1.

M A²−M B²= (−−→

M I+−→

IA)²+ (−−→

M I+−→

IB)² M A²−M B²= 2M I²+IA²+IA²+ 2−−→

M I.−→ IA+ 2−−→

M I.−→

IB M A²−M B²= 2M I²+1

2AB²+ 2−−→

M I.(−→ IA+−→

IB) M A²−M B²= 2M I²+1

2AB² 2.

M A²−M B²= (−−→

M I+−→

IA)²−(−−→

M I+−→

IB)² M A²+M B²= 2−−→

M I.−→ IA−2−−→

M I.−→

IB M A²+M B²= 2−−→M I.(−→

IA+−→BI) M A²+M B²= 2−−→

M I.−−→ BA

3. −−→

M A.−−→

M B= (−−→

M I+−→ IA).(−−→

M I+−→

−−→ IB) M A.−−→

M B= (−−→

M I+−→ IA).(−−→

M I−−→

−−→ IA) M A.−−→

M B=M I²−IA²