PRODUIT SCALAIRE

Exercices d’applications avec solutions PROF : ATMANI NAJIB Tronc CS http:// xriadiat.e-monsite.com

Exercice1 : Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A et AB  2 cm

Calculer AB AC . et BA BC . et BACB . Solution :

On a AB AC .  AB AA  car : A est le projeté orthogonales de A sur   ^{AB et B} est le projeté orthogonales de B sur   ^AB

et A est le projeté orthogonales de C sur   ^AB

donc AB AC .  AB AA   AB   0 0 de même On a BA BC .  BA BA     2 2 4 de même On a BACB .   BA AB       2 2 4 Exercice2 : Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

Calculer : AB AC . Solution :

2 2

. cos

cos 1

3 2 2

AB AC AB AC BAC a a  a a

  

     

Exercice3 : Soit CFG un triangle tel que CF  7 et 6

CG  et FG  3 Calculer : CG CF .

Solution :



^{2 2 2}

 

^{2 2 2}



1 1

. 6 7 3 38

2 2

CG CF  CG  CF  GF    

Exercice4 :soient u et v deux vecteurs tels que : 5 2

u  2 et v  4 et   ^{u v ;   } ₄ ^{  2}

Calculer u v  Solution :

5 2

cos 4 5 2

4 2 2

u v   u  v            

Exercice5 : Soit EFG un triangle tel que : EF  5 3

EG  et EF EG    6 calculer : ^cos   ^FEG

Solution :

^{EF EG EF  EG cos}

 

^{FEG  6}

Ssi

^EFEGcos

 

^{FEG  6}

^ssi

^{5 3cos}

 

^{FEG  6}

Ssi

^cos

 

^{FEG  }₁₅^{6  2}₅

Exercice6 : Soit ABC un triangle tel que : AB  3 4

AC  et ² BAC _ 3  Calculer : AB AC 

Solution : _{cos cos} ²

AB AC   AB  AC  A

^

 AB AC     3    

3 3

4 3cos 12 cos 12 cos

3 3 3 3

AB AC   ^

 

^{ } ^

 

 ^ ^







^

3 3

4 3cos 12 cos 12 cos

3 3 3 3

AB AC               

Car : ^cos  ^{  x}  ^{  cos x}

. 6

AB AC  

Exercice7 : 1) Soit ABC un triangle tel que AB  7 et 5

AC  et BC  6

a) Calculer BA AC . et en déduire AB AC .

b) Soit H le projeté orthogonal de C sur la droite   ^AB

Calculer AH

2) sachant que u  4 et v  2 et 1

. 2

u v   a)Calculer : ^{A }  ^{2 u  3 . v}   ^{u  2 v}  ^{et .}

2 2

u v

B  v   u 

      

   

 

²

C  u  v et ^{D }  ^{2 u  3 v} 

²

b)en déduire E  u  v et F  2 u  3 v Solution :

1) Calcule de BA AC .

On a ^{BA AC .  1} ₂  ^{BA  AC}

²

^{ BA}

²

^{ AC}

²





^{2 2 2}



. 1

BA AC  2 BC  BA  AC



^{2 2 2}

 

^{2 2 2}



1 1

6 7 5 19

2 BC AB AC 2

       

donc : BA AC .   19

donc :On a AB AC .   BA AC .  19 a) Calcule de AH

On a AB AC .  AB AH  donc : . 19 7 AB AC AH  AB  2) a) ^{A }  ^{2 u  3 v}   ^{. u  2 v}  ^{ 2 . u u  4 . u v  3 . u v  6 . v v}

 ^{2 3}   ^{. 2}  ^{2 . 4 . 3 . 6 .}

A  u  v u  v  u u  u v  u v  v v

2 2

2 2 2

1

2

2. . 6 2. . 6 2 4 6 2

A  u  u v  v  u  u v  v      2

PRODUIT SCALAIRE

1 15

32 24

2 2

A    

1 1 1

. . . . .

2 2 2 4 2

u v

B  v   u  u u u v u v v v

          

   

2 2

2 2

1 3 1 1 3 1 1

. 4 2

2 4 2 2 4 2 2

B   u   u v   v             

3 51

8 2

2 8

B    

 

^{2 2}

^{2 .}

^{2 2}

^{2 .}

²

⁴

²

^{2 1} ₂ ²

²

C   u v   u u v v   u  u v  v        

  16 1 4 21

C    

 ^{2 3} 

²

⁴

²

^{12 . 9}

²

⁴

²

^{12 . 9}

²

D  u  v  u  u v  v  u  u v  v

2

1

2

4 4 12 9 2 64 6 36 94

D        2         

b)   ^{u v }

²

^{ 21} donc u  v

²

 94 donc u   v 21

 ^{2 u  3 v} 

²

^{ 94} donc

2

2 u  3 v  94 donc 2 u  3 v  94

Exercice8 : Soit un carré ABCD de côté c.

Calculer AB AC . Solution :

2 2

. .

AB AC  AB AB  AB  c

Exercice9 : Soit ABC un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC)

Montrer que : 1) AB

²

 AC

²

 BC

²

2) AC AB   AH BC  Solution :1)

 

²

2 2 2

2

2

BC  BC  BA AC   BA  BA AC   AC On a : BA  AC car ABC un triangle rectangle en A Donc : BC

²

 BA

²

 AC

²

2) on considére le triangle :  ^ABC  donc : sin ˆ AC B  BC Et on considére le triangle :  ^ABH  ^{donc : sin B ˆ AH}

 AB Donc : AC AH

BC  AB donc : AC AB   AH BC 

Exercice10 : Soit ABC un triangle rectangle en A et H est le projeté orthogonal du point A sur la droite (BC)

et AH  2 cm et

ABC _  3 Calculer AB et BH et BC Réponse :

a)On a ABH un triangle rectangle en H donc : ^sin   ^{ABC  AH} _AB

Donc :

  ^{2 2 3 2 2 3 4 3 3}

sin sin

3 2

AB AH

ABC 

     

   

 

b)On a AB

²

 AH

²

 HB

²

car ABH un triangle rectangle en H

Donc: AB

²

 AH

²

 HB

²

Donc:

2

2 2

4 3 2

3 HB

   

 

 

Donc: 16

^{2 2}

3  2  HB Donc:

²

4 HB  3

4 2

3 3 3 HB  

c)On a BA

²

 BH  BC Donc:

BA

2

BC  BH

Donc:

2 2

4 4

3 3

3 3 8

2 3 2 3 3 3

3 3

BC

   

   

   

  

Exercice11 : Soit ABC un triangle tel que et AB  5 et 8

AC  et 2 A _ 3 

Calculer BC et cos C Réponse :

a) D’après le Théorème d'Al Kashi on a :

2 2 2

2 cos

BC  AB  AC  AB AC  A

2 2 2

2

5 8 2 5 8 cos BC _{    } 3 

donc

2

25 64 40 129

BC     donc BC  129

b) D’après le Théorème d'Al Kashi on a :

2 2 2

2 cos

AB  AC  BC  CA CB  C donc

2 2 2

2 CA CB  cos C  AC  BC  AB

donc _cos

^{2 2 2}

2

AC BC AB

C CA CB

 

  donc

64 129 25 168 21 129

cos C  2 8  129   16 129  258

 

Exercice12 : Soit EFG un triangle tel que et EF  7 et EG  5 et

FEG  4



Calculer FG et cos EGF

Exercice13 : Soit ABC un triangle tel que et BC  4 cm 6

AC  cm et AB  3 cm et I le milieu du segment   ^BC

Calculer : AI

Réponse : D’après le théorème de la médiane dans le triangle ABC on a :

2 2 2

1

2

2 2

AB  AC  AI  BC Donc : ₃

²

₆

²

₂

²

¹ ₄

²

AI 2

   donc : _{9 36 2}

²

¹⁶

AI 2

  

Donc :

²

³⁷

AI  2 par suite : ³⁷ AI  2

Exercice14: Soit ABC un triangle tel que : BC  5 ; 7

AC  Et AB  8 et K le milieu du segment [AB].

calculer CK .

Réponse : D’après le

théorème de la médiane, on a : CA

²

 CB

²

 2CK

²

 AB

²

2 donc :

2 2

2

1

2 2

1

2 2

8

7 5 21

2 2 2 2

CK  CA CB AB   

          

   

Donc : CK  21 .

Exercice15 : soit ABM un triangle tel que : AM  3 cm Et BM  4 cm et AB  4 cm

I le milieu du segment [AB]. Et J le milieu de  ^AM 

Et K le milieu du segment   ^BM

Calculer : MI et AK et BJ Réponse :1) calcul de MI

D’après le théorème de la médiane dans ABM on a :

2 2 2

1

2

2 2

MA  MB  MI  AB donc ₃

²

₄

²

₂

²

¹ ₄

²

MI 2

  

Donc : _{9 16 2}

²

¹⁶ MI 2

   donc :

²

¹⁷

MI  2 donc : ¹⁷

MI  2 calcul de AK

D’après le théorème de la médiane dans ABM

Donc :

^{2 2}

2

²

¹

²

AB  AM  AK  2 BM Donc : ₂

²

₃

²

₂

²

¹ ₄

²

AK 2

   donc :

²

¹⁷

AK  2 donc : ¹⁷ AK  2 calcul de BJ

D’après le théorème de la médiane dans ABM

Donc :

^{2 2}

₂

²

¹

²

AB  BM  BJ  2 AM Donc : 4

²

4

²

2

²

¹ 3

²

BJ 2

  

Donc : ⁵⁵ ₂

²

2  BJ donc :

²

⁵⁵

BJ  4 donc : ⁵⁵ BJ  2

Exercice16 : Soit EFGH un parallélogramme tel que et 3

EF  et EH  5 et ³ FEH _ 4 

Calculer la Surface du triangle EFH et la Surface du parallélogramme EFGH

Réponse : a)

1 1 3 15

sin 3 5sin sin

2 2 4 2 4

S

EFH

 EF  EH E     ^      ^  

15 2 15

2 2 4 2 S

EFH

  

b) 15 15

2 2 2 2

4 2

EFGH EFH

S   S   

Exercice17 :: Soit ABC un triangle tel que :

6

a  BC  et A   30 et 73

B  

Calculer b et c

Réponse

D'après la formule de sinus on a : sin A sin B sin C 2 S

a b c abc

   

sin sin 30 1

6 12

A a

   donc sin 73 1

12 b

  donc 12sin 73 11.47

b    sin 77 1

12 c

  donc c  12sin 77   11.69

Exercice18 : soit ABC un triangle tel que : AB  1 Et AC  2 et CB  2 et D un point tel que :

2 0

DB  DC 

1) Montrer que : ¹

AB AC    2 et en déduire : cos A 2) Ecrire AD en fonction de AB et AC

3) Calculer AD AB  et en déduire la nature du triangle ABD

4) Calculer : AD

5) Soit I le milieu du segment   ^{BC et J} le milieu du segment   ^AC

Calculer : AI et BJ

Réponse :1) D’après le Théorème d'Al Kashi dans ABC on a : BC

²

 AB

²

 AC

²

 2 AB AC  cos A

Et on a : _{AB AC   AB  AC  cos A}

^

_{ AB AC   cos A}

^

Donc : BC

²

 AB

²

 AC

²

 2 AB AC 

Donc : 2

²

  1

²

2

²

 2 AB  AC

Donc : 4 1 2 2AB AC     donc : 1   2 AB AC 

Donc :

¹

AB AC  2

Déduction de cos A : on a : AB AC AB AC cos A

   



Donc : ¹ _cos

2 AB AC A

   



donc : ¹ _{1 2 cos}

2 A

   



Donc :

 

²

1

1 1 1 2 2

cos 2

2 4

2 2 2 2 2 2

A





        

2) DB  2 DC  0 ssi ^{DA  AB  2}  ^{DA  AC}  ^{ 0}

2 2 0

DA  AB  DA  AC  ssi AB  3 DA  2 AC  0 Ssi AB  2 AC  3 AD donc : ^{AD  1} ₃  ^{AB  2 AC} 

3) ^{AD AB   1} ₃  ^{AB  2 AC AB}  ^{ 1} ₃  ^{AB AB   2 AC AB } 



²

 ^

²

^

1 1 1 1

2 2 1 2 0

3 AB AC AB 3 AB AC AB 3  2

          

 

 

Donc : AD AB   0 par suite :

^ADAB

Et donc : ABD est un triangle rectangle en A

4)on a : ¹  ² 

AD  3 AB  AC

donc :

^AD2_¹₃



^AB2AC



^_²

^{donc :}

   



^{2 2}

 ^{ }

2

1 1

2 2

2 4 4 4

9 9

AD  AB  AC  AB AC   AB  AB AC   AC

 

2 1 1 1 7

1 4 4 2 1 2 8

9 2 9 9

AD          

Donc :

^{7 7}

9 3 AD 

5) a)D’après le théorème de la médiane dans ABC on a :

2 2 2

1

2

2 2

AB  AC  AI  BC donc ₁

²

₂

²

₂

²

¹ ₂

²

AI 2

  

Ssi 3 2  AI

²

 2 ssi 1 2AI 

²

ssi

²

¹

AI  2 ssi

¹ AI 2

b) D’après le théorème de la médiane dans ABC on a :

2 2 2

1

2

2 2

BA  BC  BJ  AC

Donc :

^{2 2 2}

1

²

1 2 2 2

BJ 2

   ssi 5  2 BJ

²

 1

Ssi BJ

²

 2 ssi BJ  2

Exercice19: soit ABC un triangle tel que : AB = 7 Et AC= 2 et BC= 3

I le milieu du segment   BC

 a)Calculer : cos( B AC )



b)Montrer que : AB AC   1 c) Calculer AI

2) soit M un point tel que : ^{1 1}

3 6

AM  AB  AC a) Calculer : AM AC 

b)montrer que : MB AC   0

c)que peut-on déduire des droites :   ^{MB et}   AC ? Réponse :1)a)

D’après le Théorème d'Al Kashi dans ABC on a :

2 2 2

2 cos

BC  AB  AC  AB AC  A Donc : ^{9    4 7 4 7 cos}   ^A

Donc : ^{   2 4 7 cos}   ^{A donc :}

  ^{2 1} _{ } ⁷

²

⁷

cos 4 7 2 7 2 7 14

A    

1)b) on a AB AC AB AC cos A

   



Donc :

7

 

^{7 2} 14

2 7 2 1

14 14 14

AB AC       

1)c) D’après le théorème de la médiane dans ABC on a :

Donc :

^{2 2} ₂ ^{2 1 2}

AB AC  AI 2BC

Donc :

₇² ₂² ₂ ^{2 1}₃²

AI 2

  

Donc : _{11 2}

²

⁹

AI 2

  donc

^{2 13}

AI  4

Donc : 13 AI  4

2)a)

^{1 1 1 1}

3 6 3 6

AMAC AB ACAC AB AC  AC AC

2 2

1 1 1 1 1 1 1 2

1 4 1

3 6 3 6 3 6 3 3

AM AC    AC   AC      

2)b)

^{MB AC }



^MAAB



^{ACMA AC AB AC}

1 1 0

MB AC    AM AC   AB AC     

2)b)donc : MB  AC par suite : 

^MB

 

^{ AC}

 Exercice20 : soit ABC un triangle tel que AB  1 Et BC  AC  2

I le milieu du segment   ^AB et D un point tel que :

2 0

DB  DC 

1)calculer CI

2)calculer AD en fonction de AB et AC 3) montrer que : AB AC   AB AI 

4)en déduire que : 1

AB AC   2 et en déduire cos BAC 5)calculer : AB AD  et en déduire la nature du

triangle BAD

6)soit le point M tel que :  3 MA  7 MC  0

a) calculer AD en fonction de AC et calculer AC AD  b)montrer que 

^MD

  

^{ AC}

Réponse :1) a)D’après le théorème de la médiane dans

ABC on a :

^{2 2}

₂

²

¹

²

BC  AC  CI  2 AB Donc : _{4 2}

²

¹

CI 2

  donc : ⁷

²

4  CI donc :

^{7 7}

4 2 CI 

2) DB  2 DC  0 ssi

^DAAB2



^DAAC



^0

Ssi DA AB   2 DA  2 AC  0 ssi  DA AB   2 AC  0 Ssi AD   AB  2 AC  2 AC  AB

3) ^{AB AC   AB }  ^{AI  IC}  ^{ AB AI   AB IC }

On a : I le milieu du segment   ^{AB et ABC} isocèle en C Donc :     ^{IC  AB cad AB  IC donc : AB IC   0}

Par suite : AB AC   AB AI 

4) cos 0 1 cos 0

2

AB AC   AB AI   AB  AI  AB AI    AB  AB 

1 1

1 2 2 AB AC   

Calcul de : cos BAC

On a : 1

AB AC   2 donc : cos ¹ AB AC A 2

 





Ssi 1 2 cos ¹ A 2

 



 ssi 1

cos

2 2 A



 ssi 2

cos A 4





5)on a : AD  2 AC AB  donc : AB AD  

^AB



^2ACAB



Ssi AB AD   2AB AC AB AB   

Donc: AB AD   2AB AC   AB

²

= 2 ¹

²

1 1 0 2 AB

     Donc : AB  AD par suite BAD est un triangle rectangle en A

6)a)  3 MA  7 MC  0 ssi

^3MA7



^MAAC



^0

Ssi  3 MA  7 MA  7 AC  0

Ssi 3 AM  7 AM  7 AC  0 ssi

4AM 7AC

ssi

⁷ AM 4AC

Calcul de : AC AD  ؟؟؟

AD AC    ^{2 AC  AB}  ^{ AC  2 AC}

²

^{ AB AC }

AD AC   _{2 2} ¹ ₄ ^{1 7}

2 2 2

     6) MD AC  

 ^{MA  AD}  ^{ AC  MA AC   AD AC }

MD AC   ⁷

AM AC 2

    ssi 7 7 7 7

2 0

4 2 2 2

        MD AC   0 donc : MD  AC par suite :  ^MD    ^{ AC}

Exercice21 : soit ABC un triangle isocèle en B tel que AB  2

On construit à l’extérieur du triangle ABC le triangle équilatérale ABD (voir schéma)

1)calculer BA BD  et BC BD  2) calculer : AC et DC

3)montrer que : AC AD    1 3 4)verifier que : ⁷

DAC  12  5)en déduire :

cos^{7 2 6}

12 4



 

Réponse :1)

 

²

¹

cos cos 2 1

3 2

BA BD BA BD ABD

^

AB BD 

        

 

^{2 3}

cos 2 sin 2 3

2 3 3 2

BC BD  BC  BD              

 D’après Pythagore on a : AC

²

 BC

²

 AB

²

2 2

2 2 2

AC  

ssi AC

²

 4 ssi AC  2

D’après le Théorème d'Al Kashi dans BCD on a :

2 2 2

2 cos

2 3

DC BC BD  BCBD   

2 2 2 2 2 sin

DC          3

2 3

4 4 sin 4 4 4 2 3

3 2

DC            4 2 3

DC 

 D’après le Théorème d'Al Kashi dans ACD on a :

 

2 2 2

2 cos

DC  AC  AD  AC  AD 

2 2 2

2

DC  AC  AD  AC  AD



^{42 3}



^{2   4 2 2ACAD}

Ssi

42 3  4 2 2ACAD

Ssi

ACAD 1 3

4) 7

4 3 12

DAC _   _{ } 

On a :

ACAD 1 3

donc :

cos 1 3

4 3 ACAD 

 

  

 

Donc : 2 2 cos ⁷ 1 3

12

  

       

Donc : 7 1 3  ^{1 3}  ² 2 6

cos 12 2 2 2 2 2 4

  ^{ } 

    

    

 

Exercice22 : soit ABC un triangle isocèle en A tel que : cos( ) 1

B AC 4



 et AB AC   16 et I un point tel que :

3

BI  4 BA et J le milieu du segment   ^BC

Et soit la droite  

^

qui passe par I et perpendiculaire à la droite   ^AB et soit E un point tel que :

^{E }

 

1)Construire une figure

2)montrer que : AB  8 et calculer BC 3)calculer : BI BA 

4) montrer que : EB AB   48 5) calculer : AJ

Solution :1)

2)on a : AB AC   16 donc AB AC cos A 16

 





Donc : AB AB cos A 16

 



 donc :

²

¹ 16

AB   4 Donc : AB  8 : donc AB

²

 64

b) D’après le Théorème d'Al Kashi dans ABC on a :

2 2 2

2 cos

BC  AB AC  ABAC A

Donc :

²

64 64 2 64 ¹

BC      4

Donc :

BC²96

donc :

BC 96

3)

^{3 3 2 3 2 3 2 3} _{64 48}

4 4 4 4 4

BI BA  BA BA  BA  BA  BA   

4) ^{EB AB  }  ^{EI  IB}  ^{ AB  EI AB   IB AB }

On a : EI AB   0 car EI  AB

Donc : ^{EB AB   IB AB   }     ^{BI   BA  BI BA   48}

5) D’après le théorème de la médiane dans ABC on a :

2 2 2

1

2

2 2

AB  AC  AJ  BC Donc : ₈

²

₈

²

₂

²

¹ ₉₆

²

AJ 2

  

Donc :

^{128 2} ^AJ2⁴⁸

donc :

⁴⁰^AJ2

donc : AJ  40  2 10

Exercice23 : soit ABC un triangle isocèle en B tel que : 12

BA BC   et _{cos( )} ¹ AB C 3



 et J un point tel que : ⁵

BJ  4 BA et I le milieu du segment  

^AC

Et soit la droite  

^

qui passe par J et perpendiculaire à la droite   ^AB et soit E un point tel que :

^{E }

 

Et soit

^{M }

 

1)Construire une figure 2)montrer que : AB  6 et calculer AC

3)calculer : BJ BA 

4) montrer que : MB AB   45 5) calculer : BI

Solution :1) on a : BA BC   12 Donc :

BA BC cosB 12

   

Donc : BA BC cos B 12

 



 donc :

²

¹ 12

AB   3 Donc : ^AB

²

^{ 36} donc : AB  6

b) D’après le Théorème d'Al Kashi dans ABC on a :

2 2 2

2 cos

AC  AB  BC  AB BC  B

Donc :

²

1

36 36 2 36 AC      3 Donc : AC

²

 54 donc :

AC 54

3) ^{5 5}

²

⁵

²

⁵ 36 45

4 4 4 4

BJ BA   BA BA   BA  BA    4)

^{MB AB }



^MJJB



^{ABMJ AB JB AB}

On a : MJ AB   0 car MJ  AB

Donc :

^{MB AB JB AB  }



^BJ

 

^{ BA}



^{BJ BA 45}

5) D’après le théorème de la médiane dans ABC on a :

2 2 2

1

2

2 2

AB  BC  BI  AC donc : ₆

²

₆

²

₂

²

¹ ₅₄

²

BI 2

  

Donc :

722BI²27

donc :

²

⁴⁵ BI  2

Donc :

⁴⁵

BI 2

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices

Que l’on devient un mathématicien