Exercices sur le produit scalaire Premi`ere S
Exercice 1 On consid`ere un triangle EF G isoc`ele enE tel que F G= 6 et EF = 10.
1. D´eterminer le produit scalaire −→
F E·−→
F G.
2. Soit H le projet´e orthogonal de G sur la droite (EF). Montrer que F H = 1,8.
Exercice 2 On donne AB = 4;AC = 5 et BC = 6. Justifier que le triangle ABC est constructible et calculer au degr´e pr`es les angles aux sommets du triangle.
Exercice 3
Soit ABCD un carr´e. On construit le rectangle AP QR tel que :
P et R sont sur les cˆot´es [AB] et [AD] du carr´e ;
DR =AP
L’objectif est de d´emontrer que les droites (CQ) et (P R) sont perpendiculaires.
Premi`ere m´ethode :
1. On se place dans le rep`ere (A,−→
AB,−→
AC). Que dire d’un tel rep`ere ? 2. On appelle pl’abscisse de P dans le rep`ere pr´ec´edent.
(a) D´eterminer les coordonn´ees des pointsP, R, C etQ dans ce rep`ere ; (b) En d´eduire les coordonn´ees des vecteurs −→
P R et −→
CQ; (c) En d´eduire l’orthogonalit´e des vecteurs −→
P R et−→
CQ puis concluez.
Deuxi`eme m´ethode :
1. D´emontrer que −→
CQ·−→
P R=−→
CQ·−→
P A−−→
CQ·−→
RA;
2. Utiliser la formule des projet´es orthogonaux pour calculer les produits scalaires−→
CQ·−→
P Aet−→
CQ·−→
RA; 3. Conclure.
Exercice 4 D´emontrer la formule dite du parall´elogramme :
k−→u +−→vk2+k−→u − −→v k2 = 2×(k−→uk2+k−→vk2)
Exercice 5 On consid`ere un segment [AB] de longueur 2.
Lyc´ee Jean Baptiste de Baudre `a AGEN
Exercices sur le produit scalaire Premi`ere S
1. D´eterminer l’ensemble des points M du plan qui v´erifie la relation −−→
M A.−−→
M B = 2. Construire cet ensemble.
2. D´eterminer l’ensemble des points M du plan qui v´erifie la relation M A2+M B2 = 8. Construire cet ensemble.
3. D´eterminer l’ensemble des points M du plan qui v´erifie la relation M A2−M B2 = 8. Construire cet ensemble.
Exercice 6 On consid`ere un triangle quelconque OAB. A l’ext´erieur du triangle, on construit les carr´es AON M et OBEF. D´emontrer que les droites (AF) et (N B) sont perpendiculaires.
Exercice 7 On consid`ere un carr´eABCD de cˆot´e a; on appele I le milieu de [BC] etJ celui de [CD].
On appelle θ l’angle IAJd.
L’objectif est la recherche d’une valeur approch´ee de θ.Pour cela , on calcule le produit scalaire −→ AI.−→
AJ de deux fa¸cons diff´erentes.
1. Calculer −→ AI.−→
AJ en fonction de θ et de a.
2. (a) Exprimer −→ AI.−→
AJ en fonction des vecteurs −→
AB et−−→
AD; (b) En d´eduire la valeur de −→
AI.−→
AJ.
3. Conclure en donnant la valeur exacte de cos(θ) puis une valeur approch´ee deθ au degr´e pr`es.
Lyc´ee Jean Baptiste de Baudre `a AGEN
