U5 – Les applications du produit scalaire
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LES APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE 1
I. Calculer les longueurs et les angles dans un triangle quelconque 1. Le théorème d'Al-Kashi
ABC est un triangle quelconque.
On pose = , = et =
Les angles des sommets respectifs , et sont notés , et .
On a alors :
² = ² + ² −
Démonstration
D'après la relation de Chasles, = + = – Donc vecteur ² = – ² = ² + ² – 2. Or . = × × cos
d'où le résultat : %= %+ %− 2 cos
De même, on a :
%= %+ %− 2 cos %= %+ %− 2 cos 2. Théorème de la médiane
ABC est un triangle, I est le milieu de [BC].
= , = , = et la mesure de la médiane issue de A est notée &
On a alors :
² + ² = '² +²
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D'après la relation de Chasles, vecteurs = ( + ( et = ( + ( = ( − ( Il en résulte que ² + ² = 2(² + 2(²
)* ( =+%,- ( = &, d'où le résultat ² + ² = 2 &² + +²%
II. Equation de cercle 1. Équation d'un cercle défini par son centre et son rayon
Dans un repère orthonormé ), (, ., C est le cercle de centre ( /0 ; 20 et de rayon *.
Soit 3 / ; 2 un point du cercle C, d'où (3%= *%
Le vecteur (3 a donc pour coordonnées (/ − /0 ; 2 − 20) et (3² = (/ − /0)² + (2 − 20)² Ainsi : 3 appartient à C équivaut à (6 − 67)² + (8 − 87)² = 9²
L'équation du cercle C de centre ( (/0; 20) et de rayon * est donc (/ − /0)² + (2 − 20)² = *²
Exemple :
Déterminer l'équation du cercle C de centre ( (3; 4) et de rayon 5 Soit 3 (/; 2) un point du cercle C, d'où (3² = *²
L'équation du cercle C de centre ( (3; 4) et de rayon * = 5 est donc : (/ − 3)² + (2 − 4)² = 5²
2. Équation d'un cercle défini par son diamètre
Le cercle C de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que vecteur 3. 3 = 0
Exemple :
Déterminer l'équation du cercle C de diamètre [AB] avec (2; 5) et (1; 0)
Soit 3 (/; 2) un point du cercle C. On a alors 3 = (2 − /; 5 − 2) et 3 (1 − / ; 0 − 2)
3. 3 = 0
Équivaut à (2 − /) (1 − /) + (5 − 2) ( 0 − 2) = 0
⇔ 2 − 2/ − / + /%− 52 + 2² = 0
⇔ /² + 2² − 3/ + 2 = 0
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III. Les formules d’addition et de duplication
1. Les formules d'addition Quel que soit les nombres et
(1) @A ( − ) = @A @A + ABC ABC (2) @A ( + ) = @A @A − ABC ABC (3) ABC ( − ) = ABC @A − @A ABC (4) ABC ( + ) = ABC @A + @A ABC 2. Les formules de duplication
En remplaçant par dans les formules donnant @A ( + ) et ABC ( + ), on obtient pour tout nombre :
@A 2 = @A² − ABC² ,- ABC 2 = 2 ABC @A a
Or @A² + ABC² = 1 donc
@A 2 = @A² − (1 − @A²) @D @A 2 = 1 − ABC² − ABC² )
Il en résulte que :
@A 2 = 2 @A² − 1 @D @A 2 = 1 − 2 ABC² a
On en déduit que :
@A² = 1 + @A 2 2 ABC² = 1 − cos 2
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