Applications du produit scalaire
I- Équations de cercles
1) Forme générale
Soit (O ;#»ı , #») un repère orthonormal.
Une équation du cercleC de centre A(xA;yA) et de rayon R est (x−xA)2+ (y−yA)2= R2 Propriété
Démonstration
M(x;y)∈C ⇔AM = R⇔AM2= R2⇔(x−xA)2+ (y−yA)2= R2. Exemple 1 :
Soit(O ;#»ı , #»)un repère orthonormal.
Quelle est la nature de l’ensembleE des pointsM(x;y)tels quex2+y2−6x+ 2y+ 5 = 0 ?
M(x;y)∈E ⇔x2+y2−6x+ 2y+ 5 = 0⇔x2−6x+y2+ 2y+ 5 = 0
⇔(x−3)2−9 + (y+ 1)2−1 + 5 = 0⇔(x−3)2+ (y+ 1)2= 5 E est donc le cercle de centre C(3;−1) et de rayon
√ 5.
2) Cercle de diamètre donné
On considère deux points A et B du plan.
Le cercleC de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que # » MA.# »
MB = 0.
Propriété
Démonstration M∈C ⇔
M = A ou M = B
ou AMB est un triangle rectangle en M
⇔ # » MA.# »
MB = 0.
Exemple 2 :
Soit(O ;#»ı , #»)un repère orthonormal.
Déterminer une équation du cercleC de diamètre[AB]avecA(2; 2)etB(6;−2).
Soit M(x;y). On a # » MA 2−x
2−y
! et# »
MB 6−x
−2−y
! . M(x;y)∈C ⇔# »
MA.# »
MB = 0⇔(2−x)(6−x) + (2−y)(−2−y) = 0
⇔12−8x+x2−4−2y+ 2y+y2= 0 Une équation deC est doncx2+y2−8x+ 8 = 0.
Lycée Gustave Eiffel 1èreS3 - M. Herbaut 1/4
II- Longueurs et angles dans un triangle
1) Théorème de la médiane
On considère deux points A et B du plan et I le milieu de [AB].
Pour tout point M du plan, on a :
MA2+ MB2= 2MI2+1 2AB2 Propriété
A B
M
I Démonstration
MA2+ MB2=# » MA2+# »
MB2= (# » MI +# »
IA)2+ (# » MI +#»
IB)2
=# »
MI2+ 2# » MI.# »
IA +# » IA2+# »
MI2+ 2# » MI.#»
IB +#»
IB2
= 2MI2+ 2# » MI.(# »
IA +#»
IB) + IA2+ IB2 Or I est le milieu de [AB] donc IA = IB =1
2AB donc IA2= IB2=1 4AB2 De plus# »
IA +#»
IB = #»
0 .
Ainsi MA2+ MB2= 2MI2+ 2×1
4AB2= 2MI2+1 2AB2. Exemple 3 :
ABCest un triangle tel queAB = 6,AC = 8etBC = 12. CalculerAIoùIest le milieu de[BC].
D’après le théorème de la médiane : AB2+ AC2= 2AI2+1 2BC2. On a donc 2AI2= 62+ 82−1
2×122= 28.
Ainsi AI =
√ 14.
2) Formules d’Al Kashi
On considère un triangle ABC.
On pose a= BC,b= AC,c= AB,bA =BAC,[ bB =ABC et[ bC =ACB.[ On a :
a2=b2+c2−2bccos(bA) b2=a2+c2−2accos(bB) c2=a2+b2−2abcos(bC) Propriété
A
B a C
c b
b A
b
B Cb
Démonstration BC2= # »
BC2= (# » BA +# »
AC)2=# »
BA2+ 2# » BA.# »
AC +# »
AC2= BA2+ AC2−2# » AB.# »
AC Ainsi BC2= AB2+ AC2−2×AB×AC×cos(BAC) soit[ a2=b2+c2−2bccos(bA) Exemple 4 :
ABCest un triangle tel queAC = 9,AB = 5etbA =π
3. CalculerBC.
D’après la formule d’Al Kashi :
BC2= AB2+ AC2−2×AB×AC×cos(bA) = 52+ 92−2×5×9×cos π
3
= 61 Ainsi BC =
√ 61
Lycée Gustave Eiffel 1èreS3 - M. Herbaut 2/4
3) Aire d’un triangle
On considère un triangle ABC et on appelle S son aire. Avec les notations ci-dessus, on a : S =1
2bcsin(bA) = 1
2acsin(bB) = 1
2absin(bC) Propriété
Démonstration
Soit H le projeté orthogonal de C sur AB. On a alors S =1
2AB×CH.
Si l’anglebA est aigu alors CH = ACsin(bA).
Si l’angle bA est obtus alors CH = ACsin(π− bA) = ACsin(bA)
Dans tous les cas S =1
2AB×AC×sin(bA).
A
B C
H
a
c b
b A
4) Formule des sinus
On considère un triangle ABC. Avec les notations ci-dessus, on a : a
sin(bA)= b
sin(bB) = c sin(bC) Propriété
Démonstration On a S =1
2bcsin(bA) =1
2acsin(bB) = 1
2absin(bC) donc 2S
abc =sin(bA)
a =sin(bB)
b =sin(bC) c ainsi a
sin(bA) = b
sin(bB) = c sin(bC). Exemple 5 :
ABCest un triangle tel queBC = 5,bB = 50◦ etbC = 75◦. CalculerABetACet donner les valeurs arrondies au dixième.
bA = 180◦−(bB +bC) = 55◦ AB
sin(bC)= AC
sin(bB) = BC sin(bA)
⇔ AB
sin(75◦) = AC
sin(50◦) = 5 sin(55◦) On a donc AB =5 sin(75◦)
sin(55◦) '5,9 et AC =5 sin(50◦) sin(55◦) '4,7.
Lycée Gustave Eiffel 1èreS3 - M. Herbaut 3/4
III- Application à la trigonométrie
1) Formules d’addition
Dans cette partie, nous allons mettre en place les formules suivantes
Soientaetbdeux réels,
cos(a−b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) (1) cos(a+b) = cos(a) cos(b)−sin(a) sin(b) (2) sin(a−b) = sin(a) cos(b)−cos(a) sin(b) (3) sin(a+b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) (4)
Propriété Formules d’addition
Dans un repère orthonormé (O ;#»ı , #»), on considère le cercle trigonométriqueC.
Soientaetbdeux réels et A et B les points du cercleC tels que (#»ı;−−−→
OA ) =aet (#»ı;# » OB) =b.
1) a. Exprimer # » OA·# »
OB en fonction de cos(a−b).
b. Donner les coordonnées cartésiennes des points A et B dans ce repère puis exprimer# » OA·# »
OB en fonction de ces coordonnées.
c. En déduire la formule (1).
2) Prouver la formule (2).
3) En utilisant le fait que sin(a−b) = cosπ
2−(a−b) , prouver la formule (3).
4) Prouver alors la formule (4)
b
O I
J
B A
b a
a-b
Exemple 6 :
1) En remarquant que 7π12 =π4+π3, calculercos7π
12
puissin7π
12
. 2) En utilisant une méthode analogue, calculercosπ
12
puissinπ
12
.
2) Formules de duplication
Dans cette partie, nous allons mettre en place les formules suivantes
Soientaetbdeux réels,
cos(2a) = cos2(a)−sin2(a) (5)
sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) (6)
Propriété Formules de duplication
1) En utilisant la formule (1) et en choisissant judicieusementaetb, prouver la formule (5).
2) En utilisant une méthode analogue, prouver la formule (6) à partir de la formule (3).
Exemple 7 :
En utilisant le fait que pour toutaréel,cos2(a) + sin2(a) = 1 1) Montrer quecos(2a) = 1−2 sin2(a) = 2 cos2(a)−1.
2) En déduire quesin2(a) =1−cos(2a)2 etcos2(a) = 1+cos(2a)2 . 3) Calculercosπ
8
etsinπ
8
.
Lycée Gustave Eiffel 1èreS3 - M. Herbaut 4/4
