2de 13 Devoir de Mathématiques n°9 Lundi, 22 Novembre 2004 (Devoir surveillé n°3)
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1. On considère un carré ABCD tel que AB = 4 cm.
Construire les points E, F, H et I définis par :
AE= → AC + → AD ; → BF = – 14 → BA ; → CH = 12 → CB – 14 → BA ; → →AI = 34 CD →+ 12 AC. ( 3 points) →
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2. On considère un triangle quelconque ABC.
Placer les points I et J définis par : →AI = AB + 2→ AC et 3→ →BJ = 2BC. →
Montrer que →AJ = 13 AB →+ 23 AC. →
En déduire que A, I et J sont alignés. (2,5 points)
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3. Dans un repère quelconque (O; →i ; →j ), on considère les vecteurs : →u 2 5 , →v – 1 2 et w = 4→ →i – 2→j .
Calculer les coordonnées des vecteurs :
→u + →v ; 3→u – →v ; →v + w ; 2→ →u + 3v – → w. (2 points) →
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4. Dans un repère quelconque (O; →i ; →j ), on considère les points A (1 ; 1), B (5 ; 3), C (2 ; 9) et D (– 2 ; 7).
Calculer les coordonnées des vecteurs AB et → DC. →
Que peut-on en conclure pour le quadrilatère ABCD ?
F est le point tel que CF = 13 → CD et G le point tel que → AG = 13 → AB. →
Calculer les coordonnées de F et G.
En déduire les coordonnées du milieu de [FG].
Montrer que [FG] et [AC] ont même milieu. (4 points)
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5. Dans un repère quelconque (O; →i ; →j ), on considère les points A, B et C suivants.
Préciser, par le calcul, si A, B et C sont alignés :
• A (6 ; 3), B (– 6 ; 1) et C (12 ; 4) ;
• A (2 2 ; – 3), B ( 2 ; – 1) et C (– 2 ; 2 – 1).
(2 points)
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6. Dans un repère quelconque (O; →i ; →j ), on considère les points M, N et P suivants.
Préciser, par le calcul, si les droites (OM) et (NP) sont parallèles :
• M (8 ; 16), N (– 1 ; – 7) et P (20 ; 35) ;
• M (3 ; 9), N (0 ; 1) et P (– 10 ; – 29). 2 points) __________________________________________________________________________________
7. Dans un repère orthonormal (O; →i ; →j ), on considère les points A (2 ; 5), B (5 ; 11) et C(– 2 ; 7).
Placer ces points dans un repère d’unité 1 cm.
Calculer les longueurs AB, BC et CA.
Préciser, par le calcul, si le triangle ABC est rectangle.
Calculer les coordonnées de A’, milieu de [BC].
En déduire les coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC.
(4,5 points) __________________________________________________________________________________
