L’Oasis Des Mathématiques Seconde S
Exercice 13 Énoncé
Soit ABCD un parallélogramme. On désigne par C’ le milieu de [AB] et par G le point d’intersection des droites (BD) et (CC’).
1. Démontrer que G est le centre de gravit du triangle ABC.
2. Écrire C comme barycentre des points A, B et D.
3. Démontrer que 3−→
AG−2−→
AB−−→
AD =→− 0 .
Exercice 13 Corrigé
1. Démontrons que G est le centre de gravit du triangle ABC.
ABCD est un parallélogramme, (AB) parallèle à (DC) or C’ est le milieu de [AB] ce qui implique donc que (BC’) parallèle à (DC).
Les points B, G et C sont alignés dans cet ordre.
les points C’, G et C sont aussi alignés dans le même ordre.
D’après le théorème de Thalès, on a :C0G CG =C0B
DC = 1 2AB
AB =1
2=⇒C0G=1 2CG.
Or, (CC’) est la hauteur issue de C du triangle ABC. Le point G se trouve donc au deuxième tiers à partir du sommet C : c’est alors le centre de gravité du triangle ABC.
2. Écrivons C comme barycentre des points A, B et D.
ABCD est un parallélogramme,−→
AB=−→
DC=⇒−→
AB−−→
DC=→−
0 =⇒−→
AB+−→
CD=−→
0 =⇒−→
AC+−→
CB+−→
CD=→− 0 . Ce qui donne alors−−→
CA+−→
CB+−→
CD=−→
0 : C est donc le barycentre de (A, -1), (B, 1) et (C, 1).
3. Démontrons que 3−→
AG−2−→
AB−−→
AD =→− 0 .
G est le centre de gravité du triangle ABC, donc l’isobarycentre des points A,B et C.
On a alors−→
GA+−→
GB+−→
GC=→−
0 . En utilisant la relation de Chasles dans les vecteurs−→
GB et−→
GC, nous obtenons−→
GA+−→
GA+−→
AB+−→
GA+−→
AC=→−
0 =⇒3−→
GA+−→
AB+−→
AC=−→ 0 . Or−→
AC=−→
AD+−→
DC et−→
DC=−→
AB, la relation devient donc 3−→
GA+2−→
AB+−→
AD=−→
0 ⇒ −3−→
AG+2−→
AB+−→
AD=−→ 0 . En multipliant par−1, on trouve 3−→
AG−2−→
AB−−→
AD=−→ 0 . Figure :
A
B
D C
C’
G
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