D1873 – To be or not to be [**** à la main]
Existe-t-il un triangle ABC dont le périmètre est égal à 134 centimètres, le rayon du cercle inscrit est égal à 12 centimètres et le rayon du cercle circonscrit est égal à 27 centimètres ?
Solution proposée par Bernard Vignes
Soient a,b,c les côtés du triangle ABC, (a + b + c)/2 = s son demi-périmètre, A son aire,R et r les rayons du cercle circonscrit et du cercle inscrit.
Il y a deux approches possibles pour démontrer que le triangle ABC n’existe pas :
1) Inégalités de Blundon
D’après l’article « A geometric way to generate Blundon type inequalities » de Dorin Andrica , on a les inégalités suivantes qui sont des conditions nécessaires et suffisantes de l’existence du triangle ABC
Pour R = 27 et r = 12, les deux membres de gauche et de droite des deux inégalités (1), valent respectivement 2Rr
R 2r) 2(R r
10Rr
2R2 2 2 = 4500 et2R210Rrr22(R2r) R22Rr = 4608.
Or s = 67. D’où s² = 4489 < 4500 le triangle ABC n’existe pas.
2) Détermination de la cubique donnant les dimensions des côtés du triangle ABC en fonction de R,r et s.
On a les trois formules de base : a + b + c = 2s = 134
A = sr = 67.12 = 804 = abc/4R abc = 4.804.27 = 86832.
D’après la formule de Héron, A s(sa)(sb)(sc) D’où A² = s(s³ – (a + b + c)s² + (ab + bc + ca)s – abc).
A,s,a + b + c et abc sont connus. On en déduit ab + bc + ca = 5929.
Or a + b + c, + bc + ca et abc sont respectivement au signe près les coefficients des termes du second degré, premier degré et la constante d’une cubique monique. Les côtés a,b, sont donc les racines réelles de l’équation x³ – 134x² + 5929x – 86832 = 0.
Le logiciel Geogebra fait apparaître un seul point d’intersection et non trois :
