Enoncé D1875 (Diophante) Un triangle moyen
Un triangle ABC non isocèle est appelé par convention “moyen en A” si BC2=AB.AC.
On trace le cercle (Γ) de centre O circonscrit à un triangle ABC moyen en A. Les pointsGetK sont respectivement centre de gravité et point de Lemoine de ce triangle.
Q1 Montrer que la droite OK est parallèle à la bissectrice extérieure de l’angle en A.
Q2 On désigne par A1 le point d’intersection des droites BK et CG et A2 le point d’intersection des droites BG et CK. Montrer que A1 et A2 appartiennent à la bissectrice intérieure de l’angle enA.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je travaille en coordonnées barycentriques non normalisées de base A, B, C, c’est-à-dire les pondérations x, y, z caractérisant un point M du plan par la relation vectorielle x.AM +y.BM +z.CM = 0. Elles sont définies à un facteur commun près.
Je note a, b, c les longueurs des côtésBC, CA, AB, vérifianta2 =bc dans un triangle moyen en A.
Les équations des bissectrices de l’angleAsontcy=bz pour la bissectrice intérieure, etcy+bz= 0 pour la bissectrice extérieure. On a classiquement les coordonnées G(1,1,1) etK(a2, b2, c2).
Question 1
Pour exprimer les coordonnées deOavec les paramètresa, b, c, je fais appel à la formule de Héron
16S2=a2(b2+c2−a2) +b2(c2+a2−b2) +c2(a2+b2−c2).
a2(b2+c2−a2) = 2a2bccosA= 8RSacosA = 16S(a/2)RcosA, soit 16S fois l’aire du triangleOBC. Faisant de même pourOCAetOAB, on peut légitimement prendre les coordonnées
O(a2(b2+c2−a2), b2(c2+a2−b2), c2(a2+b2−c2)) de somme 16S2.
Soit O0(x0, y0, z0) le 4e sommet du parallélogramme AKOO0. On a vecto- riellement AO0 =AO+KA d’où
y0 = b2(c2+a2−b2)
16S2 − b2
a2+b2+c2,z0 = c2(a2+b2−c2)
16S2 − c2
a2+b2+c2. Il y a parallélisme siO0 est sur la bissectrice extérieure, soit cy0+bz0 = 0 ou b2c(c2+a2−b2) +bc2(a2+b2−c2)
16S2 = bc(b+c)
a2+b2+c2.
Le numérateur et le dénominateur du premier membre se factorisent en bc(b+c)(a2−(b−c)2) et (b+c)2−a2)(a2−(b−c)2). Le triangle ABC n’étant pas plat, on peut simplifier et la condition de parallélisme est (b+c)2−a2 =a2+b2+c2 d’oùa2=bc, comme annoncé.
Question 2
Equations des droites
BG BK CG CK
x=z c2x=a2z x=y b2x=a2y D’où les coordonnées ;A1(a2, a2, c2) ;A2(a2, b2, a2).
Pour ces deux points, la conditioncy=bzéquivaut àa2 =bc.
En conclusion, dans un triangle ABC moyen en A, une même droite contientA,I centre du cercle inscrit,A1 =BK∩CG,A2 =BG∩CK et le point à l’infini des perpendiculaires àOK.