1. Soit A , B , C trois point non alignés dans un plan. Soit X le barycentre de A , B , C aectés des coecients α , β , γ . Soit X

MPSI B Énoncé du DM 14 29 juin 2019

Exercice

1. Soit A , B , C trois point non alignés dans un plan. Soit X le barycentre de A , B , C aectés des coecients α , β , γ . Soit X

le barycentre de A , B , C aectés des coecients α

, β

, γ

. Soit X

le barycentre de A , B , C aectés des coecients α

, β

, γ

. Montrer que X , X

, X

sont alignés si et seulement si

det





α β γ

α

β

γ

α

β

γ



 = 0

2. Soit A , B , C trois point non alignés dans un plan. On considère les trois points A

, B

, C

dénis par :

α −−→

A

B + (1 − α) −−→

A

C = 0 β −−→

B

C + (1 − β) −−→

B

A = 0 γ −−→

C

A + (1 − γ) −−→

C

B = 0

où α , β , γ désignent trois nombres réels deux à deux diérents et distincts de 0 et de 1. On considère ensuite les points A

, B

, C

dénis par

−−→ AA

= −−→

AB

+ −−→

AC

− −− →

BB

= −−→

BC

+ −−→

BA

−−→ CC

= −−→

CA

+ −−→

CB

a. Donner la relation que doivent vérier α , β , γ pour que A

, B

, C

soient alignés.

b. Les points A

, B

, C

sont-ils alors alignés ?

Problème

Dans tout le problème

, on désigne par :

E un espace euclidien orienté de dimension trois.

B = ( − → i , − →

j , − →

k ) une base orthonormée directe de E .

−

→ u un vecteur unitaire de E de coordonnées a , b , c dans B . D la droite vectorielle de E engendrée par − → u .

On notera < , > le produit scalaire de E .

1d'aprèes Mines d'Albi 1993

Préambule

On considère une l'équation d'inconnue réelle x où µ désigne un paramètre réel non nul : x

− x

+ µ = 0

1. Déterminer les valeurs de µ pour lesquelles cette équation admet trois racines réelles distinctes.

2. Déterminer les solutions réelles de cette équation lorsque l'une d'entre elles est double.

Partie I

Pour tout réel λ non nul, on note f

l'application de E dans E dénie par :

∀− → x ∈ E : f

( − → x ) = − → x + λ < − → x , − → u > − → u 1. Montrer que f

est un endomorphisme de E .

2. a. Déterminer la valeur λ

de λ pour laquelle f

est un automorphisme orthogonal autre que Id

.

b. Caractériser f

par sa matrice dans la base B .

c. Déterminer l'ensemble des vecteurs de E invariants par f

. Donner alors la nature de f

en précisant ses éléments géométriques.

Partie II

Soit g l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est

G =





a b c c a b b c a





1. Montrer que g est une rotation vectorielle si et seulement si a , b , c sont solutions de l'équation

x

− x

+ p = 0 où p désigne un réel d'un intervalle I que l'on précisera.

On pourra utiliser l'identité suivante

a

+ b

+ c

− 3abc = (a + b + c)((a

+ b

+ c

) − (ab + bc + ac))

2. Lorsque g est une rotation vectorielle de E avec b et c réels non nuls et égaux, déter- miner l'axe et une mesure de l'angle en précisant l'orientation de l'axe.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Partie III

Soit r une rotation vectorielle de E d'axe D , une mesure de son angle orienté autour de

−

→ u est θ .

1. Montrer que pour tout élément − → x de E on a la relation

r( − → x ) =< − → x , − → u > − → u + cos θ ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u + sin θ ( − → u ∧ − → x )

2. Réciproquement, montrer que tout endomorphisme vériant la relation précédente est la rotation vectorielle d'angle θ autour de − → u .

3. Soit ϕ l'endomorphisme de E dont la matrice relative à B est

Φ =





a

ab − c ac + b ab + c b

bc − a ac − b bc + a c





Montrer que ϕ est une rotation vectorielle que l'on précisera.

4. Soit ψ le demi-tour vectoriel d'axe D

a. En utilisant III 1., expliciter ψ( − → x ) où − → x est un élément quelconque de E . b. Construire la matrice de ψ relative à B

Partie IV

Soit r la rotation d'axe D et d'angle θ autour de − → u . Soit s la symétrie vectorielle ortho- gonale par rapport au plan P orthogonal à D . On note δ = s ◦ r .

1. Montrer que si r n'est pas Id

alors δ est une isométrie vectorielle de E dont − → 0

est le seul vecteur invariant

2. Pour quelles valeurs de θ l'application δ se réduit-elle à s ? à l'homothétie vectorielle de rapport -1 ?

3. Soit f un endomorphisme vériant pour tout − → x de E la relation

f ( − → x ) = ε < − → x , − → u > − → u + cos θ ( − → u ∧ − → x ) ∧ − → u + sin θ ( − → u ∧ − → x ) avec = ±1 .

Montrer que cette relation caractérise les isométries vectorielles de E . Classier suivant les valeurs de ε et θ . On précisera dans chaque cas le rôle de D et la nature de l'ensemble des vecteurs invariants.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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