MPSI B DS 6 le 31/01/14 29 juin 2019
Problème 1.
L'objet de ce problème est le théorème de Mason - Stothers et son application au grand théorème de Fermat pour les polynômes.
Soit A , B , C trois polynômes non nuls à coecients complexes tels que A + B = C . On suppose A et B premiers entre eux et de degré supérieur ou égal à 1 .
On introduit les notations suivantes pour désigner les racines distinctes de ces polynômes, leurs multiplicités et leurs coecients dominants.
A = λ
A nAY
i=1
(X − a
i)
αi, B = λ
B nBY
i=1
(X − b
i)
βi, C = λ
C nCY
i=1
(X − c
i)
γi. On note m = n
A+ n
B+ n
C, on introduit le polynôme
M =
nA
Y
i=1
(X − a
i)
!
nBY
i=1
(X − b
i)
!
nCY
i=1
(X − c
i)
!
et les fractions rationnelles à coecients complexes F =
AC, G =
BC.
1. Question préliminaire. Soit n naturel non nul et F
1, F
2, · · · , F
ndes fractions ration- nelles à coecients complexes. Montrer que
(F
1F
2· · · F
n)
0=
n
X
i=1
Y
j∈{1,···,n}\{i}
F
j
F
i0.
2. Montrer que C est premier avec A et B . En déduire une propriété des ensembles de racines
{a
1, a
2, · · · , a
nA} , {b
1, b
2, · · · , b
nB} , {c
1, c
2, · · · , c
nC} . Comparer m , deg(M ) , deg(ABC) .
3. a. En utilisant la question préliminaire, former les décompositions en éléments simples de
FF0et
GG0.
b. Montrer que M
FF0et M
GG0sont deux polynômes à coecients complexes de degré strictement plus petit que m . On note
U = M F
0F ∈ C [X ], V = M G
0G ∈ C [X ].
4. Montrer que AU + BV = 0 .
5. Théorème de Mason - Stothers.
Montrer que les degrés des polynômes A , B , C sont strictement plus petits que m . 6. Grand théorème de Fermat pour les polynômes.
Soit n ∈ N
∗et P , Q , R des polynômes à coecients complexes tels que P ∧ Q = 1, P
n+ Q
n= R
n.
Montrer que
n deg(P QR) ≤ 3 deg(P QR) − 3.
En déduire que n ne peut être que 1 ou 2 .
Problème 2.
Dans ce problème
1, lorsque P est un polynôme à coecients réels et x ∈ R, on notera simplement P (x) le résultat de la substitution de X par x dans P . On notera P b (Q) le résultat de la substitution de X par Q ∈ R [X] .
Pour tout entier naturel k , on dénit le polynôme Γ
kpar : Γ
0= 1, ∀k ∈ N
∗, Γ
k= 1
k! X (X − 1) · · · (X − k + 1) L'objet du problème est l'étude de ces polynômes Γ
ket des suites (A
n(x))
n∈N
avec (a
n)
n∈une suite de nombres réels, x un réel xé et les polynomes A
ndénis par
NA
n=
n
X
k=0
a
kΓ
kToutes les fonctions considérées dans ce problème sont à valeurs réelles.
Partie I. Propriétés de la famille de polynômes.
Les questions de cette partie sont indépendantes entre elles mais sont utilisées dans les parties suivantes.
1. Déterminer l'ensemble des réels h > −1 pour lesquels la suite
(ln(1 + h))
n+1n∈N
est bornée.
1d'après concours commun CENTRALE-SUP.ELEC 1991 option M,P'
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1306EMPSI B DS 6 le 31/01/14 29 juin 2019
2. a. Préciser Γ
k(x) pour x ∈ J 0, k − 1 K. Préciser Γ
k(x) à l'aide d'un coecient du binôme pour x ∈ Z \ J 0, k − 1 K. En particulier, que valent Γ
k(k) et Γ
k(−1) ? b. Soit x un réel positif non entier. On note bxc la partie entière de x et dxe = bxc+1 .
Montrer que la suite ((−1)
nΓ
n(x))
n∈Nest de signe constant à partir d'un certain rang à préciser.
3. Soit n ∈ N
∗.
a. Montrer que, pour tout entier i entre 1 et n ,
n
X
k=0
(−1)
kΓ
k(i) = 0
b. Montrer que
n
X
k=0
(−1)
kΓ
k= (−1)
nΓ c
n(X − 1)
4. Soit u un réel xé qui n'est pas un entier naturel. Soit ρ ∈ R, on pose
∀n ∈ N , µ
n= n
ρ|Γ
n(u)|
a. Préciser, en fonction de u et ρ seulement les coecients a et b du développement ln(µ
n) − ln(µ
n−1) = a
n + b
n
2+ o( 1 n
2) b. On admet que, lorsque ρ = u + 1 , la suite (ln(µ
n))
n∈N
est convergente de limite l(u) que l'on ne cherchera pas à calculer. En déduire qu'il existe un réel K(u) exprimé avec l(u) tel que (|Γ
n(u)|)
n∈N
soit équivalente à K(u) n
−1−un∈N
c. Discuter selon u réel de la convergence et de la limite de (Γ
n(u))
n∈N
. Que dire lorsque u ∈ N ?
Partie II. Suite associée à une fonction.
Soit f une fonction de classe C
∞(I) à valeurs réelles où I est un intervalle de R qui contient N.
1. Montrer qu'il existe une unique suite (a
k)
k∈Nde nombres réels tels que
∀n ∈ N , ∀i ∈ J 0, n K , f (i) −
n
X
k=0
a
kΓ
k(i) = 0 Dans tout le reste du problème, on dira que (a
k)
k∈N
est la suite associée à f et, pour tout n ∈ N, la fonction r
nest dénie dans I par :
r
n= f −
n
X
k=0
a
kΓ
k2. Exemple. Soit b > 0 et I = R. Montrer que la suite associée à x → b
xest ((b − 1)
n)
n∈N
. 3. Soit (a
n)
n∈N
la suite associée à une fonction f et n ∈ N
∗, on note ϕ = f −
n
X
k=0
a
kΓ
ka. Montrer que, pour tout entier k entre 0 et n , la dérivée ϕ
(k)s'annule en au moins n + 1 − k réels positifs distincts.
b. Montrer que, pour chaque n ∈ N, il existe un réel positif λ
ntel que a
n= f
(n)(λ
n) .
Partie III. Un exemple.
Soit λ > 0 . Dans cette partie, f est la fonction dénie dans I =] − λ, +∞[ par x 7→ f (x) = 1
x + λ La suite (a
n)
n∈N
est la suite associée à f , la fonction r
nest dénie comme dans II.
1. Calculer a
0, a
1, a
2.
2. En remarquant que la fonction x 7→ (x + λ)r
n(x) est polynomiale, montrer que
∀x ∈ I, r
n(x) = −(n + 1)a
nΓ
n+1(x) x + λ 3. a. Montrer que
∀n ∈ N , (n + 1 + λ)a
n+1= −(n + 1)a
nb. Montrer que
∀n ∈ N , (n + 1)a
n= −1 Γ
n+1(−λ) 4. Soit x > −λ xé. Montrer que la suite (A
n(x))
n∈N
dénie à partir de la suite associée à f comme dans l'introduction converge vers f (x) .
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Partie IV. Une expression du reste.
Soit f ∈ C
∞(I) à valeurs réelles où I est un intervalle qui contient N et (a
n)
n∈N
la suite associée à f . Pour chaque n ∈ N, on pose
r
n= f −
n
X
k=0
a
kΓ
k1. Pour chaque u ∈ I \ N xé, on pose
ψ = r
n− r
n(u) Γ
n+1(u) Γ
n+1Montrer que la dérivée ψ
(n+1)s'annule au moins une fois dans I . 2. Montrer que, pour tout u ∈ I \ N, il existe v ∈ I tel que
r
n(u) = f
(n+1)(v)Γ
n+1(u)
3. On suppose dans cette question qu'il existe un M > 0 et un naturel n
0tels que :
∀n ≥ n
0, ∀x ∈ I \ N , f
(n)(x)
≤ n M Soit u > 0 xé. Montrer que la suite (r
n(u))
n∈N
converge vers 0 .
4. Que peut-on dire d'une fonction C
∞(I) qui s'annule sur tous les entiers naturels ?
Partie V. Un autre exemple.
Dans cette partie, on considère une suite (a
n)
n∈N
géométrique de raison h ∈ R et on étudie, pour u réel xé, la suite (A
n(u))
n∈Navec
A
n=
n
X
k=0
h
kΓ
k1. Dans cette question, h = −1 . Pour u réel et n naturel, que vaut A
n(u) ? Discuter selon u ∈ R de la convergence et de la limite de la suite (A
n(u))
n∈N
. 2. Dans cette question, −1 < h < 0 .
a. Montrer que, pour tout u réel, la suite (A
n(u))
n∈Nest monotone à partir d'un certain rang.
b. Montrer que, pour −1 < u , la suite (A
n(u))
n∈Nest convergente. On note g(u) sa limite.
c. Montrer que, pour −1 < u et
1e− 1 ≤ h < 0 , g(u) = (1 + h)
u. 3. Dans cette question, 0 < h < 1 .
a. Montrer que, pour tout u réel, les suites extraites (A
2n(u))
n∈Net (A
2n+1(u))
n∈Nsont adjacentes à partir d'un certain rang.
b. Montrer que, pour tout u réel, la suite (A
n(u))
n∈Nest convergente. On note g(u) sa limite.
c. Montrer que g(u) = (1 + h)
upour tout u réel.
4. Dans cette question h = 1 .
a. Montrer que, pour tout u ≤ −1 , la suite (A
n(u))
n∈N
diverge.
b. Montrer que, pour tout u > −1 , la suite (A
n(u))
n∈N
converge vers 2
u.
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