Soit A, B, C trois polynômes non nuls à coecients complexes tels que A+B =C

MPSI B Année 2014-2015 Énoncé DM 9 pour le vendredi 06/02/15 29 juin 2019

L'objet de ce problème est le théorème de Mason - Stothers et son application au grand théorème de Fermat pour les polynômes.

Soit A, B, C trois polynômes non nuls à coecients complexes tels que A+B =C. On supposeAet B premiers entre eux et de degré supérieur ou égal à1.

On introduit les notations suivantes pour désigner les racines distinctes de ces polynômes, leurs multiplicités et leurs coecients dominants.

A=λ_A

nA

Y

i=1

(X−a_i)^αi, B =λ_B

nB

Y

i=1

(X−b_i)^βi, C=λ_C

nC

Y

i=1

(X−c_i)^γi. On notem=nA+nB+nC, on introduit le polynôme

M =

n_A

Y

i=1

(X−ai)

! _nB Y

i=1

(X−bi)

! _nC Y

i=1

(X−ci)

!

et les fractions rationnelles à coecients complexesF = ^A_C,G= ^B_C.

1. Question préliminaire. Soit n naturel non nul et F₁, F₂,· · ·, F_n des fractions ration- nelles à coecients complexes. Montrer que

(F1F2· · ·Fn)⁰ =

n

X

i=1





Y

j∈{1,···,n}\{i}

Fj



F_i⁰.

2. Montrer queC est premier avecA et B. En déduire une propriété des ensembles de racines

{a1, a2,· · · , an_A}, {b1, b2,· · ·, bn_B}, {c1, c2,· · ·, cn_C}. Comparerm,deg(M),deg(ABC).

3. a. En utilisant la question préliminaire, former les décompositions en éléments simples de ^F_F⁰ et ^G_G⁰.

b. Montrer queM^F_F⁰ etM^G_G⁰ sont deux polynômes à coecients complexes de degré strictement plus petit quem. On note

U =MF⁰

F ∈C[X], V =MG⁰

G ∈C[X].

4. Montrer queAU+BV = 0. 5. Théorème de Mason - Stothers.

Montrer que les degrés des polynômesA,B,Csont strictement plus petits quem.

6. Grand théorème de Fermat pour les polynômes.

Soitn∈N^∗et P, Q, Rdes polynômes à coecients complexes tels que P∧Q= 1, Pⁿ+Qⁿ=Rⁿ.

Montrer que

ndeg(P QR)≤3 deg(P QR)−3.

En déduire quenne peut être que1 ou2.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M1409E