MPSI B Année 2014-2015. DS 1 le 26/09/14 29 juin 2019
Exercice 1. Inégalités et trinômes.
Soit n un entier naturel non nul, soit a 1 , · · · , a n et b 1 , · · · , b n des réels strictement positifs.
On considère des réels strictement positifs a , A , b , B , λ , µ tels que
∀i ∈ {1, · · · n} : a < a i < A, b < b i < B, λ < a i
b i < µ L'objet de cet exercice est de montrer
1 ≤ P n
i=1 a 2 i P n i=1 b 2 i ( P n
i=1 a i b i ) 2
< 1 4
r ab AB +
r AB ab
! 2
1. Inégalité de Cauchy Schwarz. Pour tout t réel, on pose T(t) =
n
X
i=1
(a i − b i t) 2
a. Montrer que T est un trinôme du second degré et exprimer son discriminant.
b. Montrer l'inégalité à gauche de l'encadrement demandé.
2. Un autre trinôme. Pour tout t réel, on pose T (t) =
n
X
i=1
(a i − λb i t)(a i − µb i t)
a. Préciser les signes de T(0) et de T (1) . b. En déduire l'inégalité
P n
i=1 a 2 i P n i=1 b 2 i ( P n
i=1 a i b i ) 2 < (λ + µ) 2 4λµ
c. Montrer l'inégalité à droite de l'encadrement demandé.
3. On pose ici
λ = min( a 1 b 1
, · · · , a n b n
), µ = max( a 1 b 1
, · · · , a n b n
)
Pourquoi le raisonnement utilisé pour prouver l'inégalité de la question 2.b. peut-il, dans certains cas, être inapplicable ? Que se passe-t-il pour n = 3 , a 1 = a 2 = 1 , a 3 = 2 b 1 = b 2 = b 3 = 1 ? Est-ce toujours valable ? Comment le justier ?
Exercice 2. Somme de produits.
Soit n un entier naturel non nul et x 1 , x 2 , · · · , x n+1 des nombres réels. Pour k entier naturel entre 1 et n + 1 , on dénit p k par :
p k =
k
Y
l=1
(1 − x l )
1. Simplier
x 1 + p n+1 +
n
X
k=1
p k x k+1
2. En déduire une expression très simple pour
S =
n
X
k=1
k facteurs
z }| { n(n − 1) · · ·
n k k
Problème. Rapport des distances à deux points.
Soit a et b deux nombres complexes non réels, de parties réelles distinctes ( Re(a) 6=
Re(b) ). On suppose de plus que Im(b) > 0 . On considère la fonction F de R dans R dénie par
t 7→ |t − a|
|t − b|
Il est facile de se convaincre que cette fonction ne prend que des valeurs strictement positives et qu'elle est bornée. On se propose de déterminer explicitement sa plus grande et sa plus petite valeur. On admet l'existence de ces valeurs, on les note respectivement v a,b et V a,b .
Partie 1. Outils.
Dans cette partie, les remarques géométriques sont bienvenues mais les preuves doivent s'appuyer sur des calculs complexes. Soit u et v distincts dans C.
1. Vérier que a et b sont distincts et non conjugués.
2. Montrer que |u| 2 = |v| 2 si et seulement si u+v u−v imaginaire pur.
3. Soit z ∈ C, quel est l'ensemble des z tels que |z − u| = |z − v| ?
4. Soit z ∈ C, montrer que z−u z−v imaginaire pur si et seulement si le point d'axe z est sur le cercle de diamètre les points d'axes u et v .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1401EMPSI B Année 2014-2015. DS 1 le 26/09/14 29 juin 2019
Partie 2. Étude d'équations.
Dans cette partie, on considère deux équations d'inconnue z
(E+) : Im(b)z 2 + |b − a|z − Im(a) = 0 (E−) : Im(b)z 2 − |b − a|z − Im(a) = 0
1. Ces deux équations ont le même discriminant. L'exprimer à l'aide du carré d'un module.
En déduire que ces équations admettent deux solutions réelles.
On note k + (1) , k + (2) avec k + (1) < k + (2) les solutions de (E+) et k − (1) , k − (2) avec k − (1) < k − (2) celles de (E−) .
2. Étude de (E+) .
a. Exprimer k + (1) et k + (2) avec des modules et Im(b) . b. Montrer que Im(a) > 0 entraine k + (1) < 0 < k + (2) < 1 .
c. Montrer que Im(a) < 0 entraine k + (1) < k + (2) < 0 . 3. Étude de (E−) .
a. Exprimer k − (1) et k − (2) avec des modules et Im(b) . b. Montrer que Im(a) > 0 entraine k − (1) < 0 et 1 < k − (2) .
c. Montrer que Im(a) < 0 entraine 0 < k − (1) < 1 < k − (2) .
Partie 3. Lignes de niveau.
Dans cette partie, pour chaque k réel positif, on note Γ k l'ensemble des nombres com- plexes z tels que
|z − a|
|z − b| = k
On dira que Γ k est une ligne de niveau k . Pour k 6= 1 , on pose g − (k) = 1
1 − k (a − kb), g + (k) = 1
1 + k (a + kb)
1. Préciser Γ 0 et Γ 1 . Préciser géométriquement l'ensemble des t réels tels que F(t) < 1 . 2. Pour k strictement positif diérent de 0 et 1 , montrer que les éléments de Γ k sont les
axes des points d'un cercle. Préciser l'axe de son centre notée c k et son rayon noté r k .
3. La gure 1 présente les points A et B d'axes a et b , la droite réelle et des lignes de niveau associées à 4 valeurs k 1 , k 2 , k 3 , k 4 . En utilisant seulement la gure, classer ces nombres entre eux et par rapport à 1 .
A B
Γ k
1Γ k
2Γ k
3Γ k
4Fig. 1: Des lignes de niveau.
4. Pour chaque k 6= 1 , on considère l'équation d'inconnue t réelle
|t − a|
|t − b| = k
Montrer qu'elle est équivalente à une équation du second degré dont le discriminant est noté ∆ k . Pour les k i de la gure 1, que peut-on dire des ∆ k
i?
5. Dans la conguration de la gure 1, à quelles lignes de niveau correspondent la plus petite et la plus grande valeur que peut prendre F ? Comment une telle situation se traduit-elle avec c k et r k ?
6. Pourquoi l'hypothèse Im(b) > 0 ne nuit pas à la généralité de la recherche des plus grande et petite valeurs de F ? En distinguant deux cas, exprimer ces valeurs avec des modules, puis former des expressions valables dans tous les cas.
7. Vérier l'identité
|b − a| + |b − a|
|b − b| ×
|a − b| − |a − b|
|a − a|
= 1
et l'interpréter dans le contexte de ce problème.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
