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Exerie 4 LesrèglesR1,R2sont desrèglesdérivéesdu systèmeLK: Γ⊢A→B Γ⊢B→C Γ⊢(A→B)∧(B →C)∧d B →C, A⊢A, C ax ′ B⊢B, C ax ′ B, C ⊢Cax ′ B →C, B⊢C →g B→C, A, B ⊢C aff g A→B, B→C, A⊢C →g A→B, B →C ⊢A→C→d (A→B)∧(B→C)⊢A→C∧g Γ⊢A→C oupure Γ⊢B B

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Masterd'Informatique 1,2010/2011

LOGIQUE, INF 462

Examen du20/12/2010-Sujet de M. Sénizergues;

Lebarème est réévaluéomme suit:

Ex 4 : 4 pts; Ex 5 : 3 pts; Ex 6 : 14 pts. La note obtenue sur ette partie est le minimum

entre 10etletotal obtenu surles exeries4,5,6.

Exerie 4

LesrèglesR1,R2sont desrèglesdérivéesdu systèmeLK:

Γ⊢A→B Γ⊢B→C Γ⊢(A→B)∧(B →C)d

B →C, A⊢A, C

ax

B⊢B, C ax

B, C ⊢Cax

B →C, B⊢C g B→C, A, B ⊢C

aff

g

A→B, B→C, A⊢C g A→B, B →C ⊢A→Cd (A→B)∧(B→C)⊢A→Cg Γ⊢A→C

oupure

Γ⊢B B ⊢∆ Γ⊢∆

oupure

Considérons le système étendu LK +R3. Ce sytème étendu admet la preuve suivante du

séquent vide :

B ⊢B

ax

⊢B,¬B ¬d

B ⊢B

ax

B,¬B ⊢ ¬g

R3

Commen'estpasprouvabledansLK,lessystèmes(LK +R3)etLKnesontpaséquivalents, e qui entraîne queR3 n'est pasunerègle dérivée du systèmeLK.

Larègle R4 estune règle dérivée dusystèmeLK :

Γ⊢(A→B)∨(A→C)

A⊢A, B

ax

A, B⊢B

ax

A→B, A⊢B g A→B, A⊢B, C affd A→B, A⊢B∨Cd A→B⊢A→(B∨C)d

A⊢A, C

ax

A, C ⊢C

ax

A→C, A⊢C g A→C, A⊢B, Caffd A→C, A⊢B∨Cd A→C⊢A→(B∨C)d (A→B)∨(A→C)⊢A→(B∨C) g

Γ⊢A→(B∨C) oupure

Exerie 5

Leséquent S1 estréfuté par lastruturede Kripkesuivante: K1:=hK,≤,i

K ={0,1},≤={(0,0),(1,1),(0,1)},0={(1, A),(1, B)} (voirlagure1).

Eneet, lenoeud0 vérie :

(2)

0

1 A, B

Fig. 1 K1.

∀k≥0, si k A alors kB

don

0A→B. (1)

D'autrepart, omme0≤1 (pour l'ordre surles noeudsde K1),et1A 01¬A

etomme, par dénitionde larelation deforage 0,01B,on a

01¬A∨B (2)

Lesrelations (1)et(2)montrent queleséquent

A→B ⊢(¬A)∨B

n'estpas valide dansK1.Ceséquent n'est don pasprouvabledansLJ. S2 admet lapreuve suivante(dansLJ):

A⊢A

ax

¬A, A⊢ ¬g

¬A, A⊢B

aff

d B, A⊢B

ax

¬A∨B, A⊢B g

¬A∨B ⊢A→B d

Exerie 6

1-

S(u, w) = (a, a)(b, b)(b, a)(#, b); S(v, w) = (b, a)(a, b)(a, a)(b, b)(a,#).

2-Les troislangagesL=, L, L sont dérits par lesexpressions rationnelles suivantes :

L=={(x, x) |x∈X}; L={(x, y)|x∈X, y ∈X}; L={(x, x)|x ∈X}·{(#, x)|x∈X}.

3-Soit x∈X.Le langage Lx estdérit par l'expressionrationnelle:

Lx =L=· {(#, x)}.

4-On proèdeommepour lapreuve duthéorème deBühi-Bruyère, vueen ours.

Remarquons que touteformuledu premierordre (surle langagede l'enoné)peutêtretrans-

formée en une formule équivalente Φ,dont toutes les sous-formules atomiques sont de l'une des quatreformes:

u≈v, u=v, uv, u·x=v

(3)

(où x ∈ X et u, v sont des variables). Soit Φ une telle formule et soient {z1, z2, . . . , zn} un

ensemble devariables quiontient toutes lesvariables de Φ.Notons

L(Φ, z1, . . . , zn) :={S(u1, u2, . . . , un)|u1, u2, . . . , un∈X,M |== Φ(u1, u2, . . . , un)}

Ondémontrepar réurrene sur|Φ|+nque L(Φ, z1, . . . , zn) est rationnel.

Base :Φest atomique etn≤2.

Sin= 2 :d'aprèslaquestion 2,L(Φ, z1, z2) estrationnel.

Si n = 1 : alors z1 = z2. Dans e as, L(Φ, z1) = X ou L(Φ, z1) = ∅, don L(Φ, z1) est

rationnel.

Cas 1(ajout d'une variable) :z1 n'apparait pasdansΦ.

Par hypothèse de réurrene, L(Φ, z2, . . . , zn) est rationnel. Soit π2,n : ((X ∪ {#})n) → ((X∪ {#})n−1) l'homomorphisme déni par

π2,n(a1, a2, . . . , an) = (a2, . . . , an).

SoitSUPn ⊆((X∪ {#})n) l'ensemble dessuperpositions denmots de X.

SUPn={u∈((X∪ {#})n)| ∀i∈[1, n], πi(u)∈X· {#} et∃i∈[1, n], πi(u)∈X},

πi : ((X∪ {#})n) →(X∪ {#}) estlaprojetion surlai-ièmeomposante. Commel'en-

sembledeslangagesrationnelsestlosparhomomorphismeinverseetparopérationsbooénnes,

SUPn estrationnel.

Or

L(Φ, z1, z2, . . . , zn) =π−12,n(L(Φ, z2, . . . , zn)·(#, . . . ,#))∩SUPn.

DonL(Φ, z1, z2, . . . , zn)est rationnel.

Cas 2(onneteur) :Φ =ψ◦θ, n≥0 estl'un desonneteurs ∨,∧,¬. L(Φ, z1, z2, . . . , zn) = L(ψ, z1, z2, . . . , zn)⊙L(θ, z1, z2, . . . , zn)

est l'opérateur booléenqui traduitleonneteurselon leditionnaire:

(∨,∧,¬)→(∪,∩, L7→(SUPn−L))

Cas 3(quantiateurexistentiel) :Φ =∃z1ψ.

Posons

P := [π2,n(L(ψ, z1, z2, . . . , zn)).

Par hypothèsede réurrene P estrationnel.

Les mots de L(Φ, z1, z2, . . . , zn) sont les superpositions de n mots de X dont la proje-

tion sur les omposantes 2,3, . . . , n (i.e. l'image par π2,n) est égale à elle d'un mot de L(ψ, z1, z2, . . . , zn),saufpourun suxedans(#,#, . . . ,#).Plusformellement :

L(Φ, z1, z2, . . . , zn) = [π−12,n(P((#, . . . ,#))−1)∪π2,n−1(P(#, . . . ,#))]∩SUPn.

Les propriétés de stabilité de l'ensemble des langages rationnels par quotient à droite, par

produit etpar opérations booléennesentrainent queL(Φ, z1, z2, . . . , zn) estrationnel.

Cas 4(quantiateuruniversel) :Φ =∀z1ψ.

On remarque queΦestéquivalenteà

Φ :=¬∃z1¬ψ.

(4)

Par hypothèse de réurrene L(ψ, z1, z2, . . . , zn) est rationnel. Par les transformations vues aux as2et3, ilen résulteque L(Φ, z1, z2, . . . , zn) est rationnel.

5-Soit x∈X.

Considéronsl'automateniAx=hX, Q, D, Q+, δitelque:Q:={qε, q#} ∪ {qy |y∈X}, D:=

{qε}, Q+:={q#}etδ estl'ensemblede toutes les transitionsde laforme :

qε(y,x) qy y∈X qy(z,y) qz y ∈X, z∈X qy(#,y) q# y∈X qε(#,x) q#

Cetautomate,lorsqu'ildémarredansl'étatqεetlitunmot(y0, x)(y1, y0)· · ·(yi, yi−1)· · ·(yn, yn−1),

atteint l'état qyn,

lorsqu'illit(y0, x)(y1, y0)· · ·(yi, yi−1)· · ·(yn, yn−1)(#, yn) ,atteint l'état q#,

etne peutlire,à partirde qε,quedesmots del'une de esdeuxformes. Don L(Ax) ={S(u, v)|u, v ∈X, x·u=v}.

6-Nous onstruisonsune formule Φ(u, v) quiexprime lefait quex·u=v.

Cette formule Φ est la onjontion de 4 formules LON G, DEB, M IL, F IN qui expriment,

repetivement, que:

|u|+ 1 =|v|

v ommene par lalettrex

siyz estunfateurde u,enpositionp,alors lalettrede v,enpositionp+ 1,estaussiy

u etv seterminent par unemême lettre y.

Posons

LON G(u, v) := sx(u)≈v

DEB(u, v) := ∀w,[(∀w, w w)→(sx(w)v)]

M IL(u, v) := ∀w,∀w, ^

y∈X,z∈X

[(sz(sy(w))u∧(sz(sy(w))≈w∧w v)→(∃w′′, sy(w′′) =w)]

F IN(u, v) := ∀w,∃w, ^

y∈X

[sy(w) =u→sy(w) =v]

Ondénitalors

Φ(u, v) :=LON G(u, v)∧DEB(u, v)∧M IL(u, v)∧F IN(u, v).

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