Masterd'Informatique 1,2010/2011
LOGIQUE, INF 462
Examen du20/12/2010-Sujet de M. Sénizergues;
Lebarème est réévaluéomme suit:
Ex 4 : 4 pts; Ex 5 : 3 pts; Ex 6 : 14 pts. La note obtenue sur ette partie est le minimum
entre 10etletotal obtenu surles exeries4,5,6.
Exerie 4
LesrèglesR1,R2sont desrèglesdérivéesdu systèmeLK:
Γ⊢A→B Γ⊢B→C Γ⊢(A→B)∧(B →C)∧d
B →C, A⊢A, C
ax
′
B⊢B, C ax
′
B, C ⊢Cax
′
B →C, B⊢C →g B→C, A, B ⊢C
aff
g
A→B, B→C, A⊢C →g A→B, B →C ⊢A→C→d (A→B)∧(B→C)⊢A→C∧g Γ⊢A→C
oupure
Γ⊢B B ⊢∆ Γ⊢∆
oupure
Considérons le système étendu LK +R3. Ce sytème étendu admet la preuve suivante du
séquent vide :
B ⊢B
ax
⊢B,¬B ¬d
B ⊢B
ax
B,¬B ⊢ ¬g
⊢ R3
Comme⊢n'estpasprouvabledansLK,lessystèmes(LK +R3)etLKnesontpaséquivalents, e qui entraîne queR3 n'est pasunerègle dérivée du systèmeLK.
Larègle R4 estune règle dérivée dusystèmeLK :
Γ⊢(A→B)∨(A→C)
A⊢A, B
ax
′
A, B⊢B
ax
′
A→B, A⊢B →g A→B, A⊢B, C affd A→B, A⊢B∨C∨d A→B⊢A→(B∨C)→d
A⊢A, C
ax
′
A, C ⊢C
ax
′
A→C, A⊢C →g A→C, A⊢B, Caffd A→C, A⊢B∨C∨d A→C⊢A→(B∨C)→d (A→B)∨(A→C)⊢A→(B∨C) ∨g
Γ⊢A→(B∨C) oupure
Exerie 5
Leséquent S1 estréfuté par lastruturede Kripkesuivante: K1:=hK,≤,i
oùK ={0,1},≤={(0,0),(1,1),(0,1)},0={(1, A),(1, B)} (voirlagure1).
Eneet, lenoeud0 vérie :
0
1 A, B
Fig. 1 K1.
∀k′≥0, si k′ A alors k′B
don
0A→B. (1)
D'autrepart, omme0≤1 (pour l'ordre surles noeudsde K1),et1A 01¬A
etomme, par dénitionde larelation deforage 0,01B,on a
01¬A∨B (2)
Lesrelations (1)et(2)montrent queleséquent
A→B ⊢(¬A)∨B
n'estpas valide dansK1.Ceséquent n'est don pasprouvabledansLJ. S2 admet lapreuve suivante(dansLJ):
A⊢A
ax
¬A, A⊢ ¬g
¬A, A⊢B
aff
d B, A⊢B
ax
′
¬A∨B, A⊢B ∨g
¬A∨B ⊢A→B →d
Exerie 6
1-
S(u, w) = (a, a)(b, b)(b, a)(#, b); S(v, w) = (b, a)(a, b)(a, a)(b, b)(a,#).
2-Les troislangagesL=, L≃, L sont dérits par lesexpressions rationnelles suivantes :
L=={(x, x) |x∈X}∗; L≈={(x, y)|x∈X, y ∈X}∗; L={(x, x)|x ∈X}∗·{(#, x)|x∈X}∗.
3-Soit x∈X.Le langage Lx estdérit par l'expressionrationnelle:
Lx =L=· {(#, x)}.
4-On proèdeommepour lapreuve duthéorème deBühi-Bruyère, vueen ours.
Remarquons que touteformuledu premierordre (surle langagede l'enoné)peutêtretrans-
formée en une formule équivalente Φ,dont toutes les sous-formules atomiques sont de l'une des quatreformes:
u≈v, u=v, uv, u·x=v
(où x ∈ X et u, v sont des variables). Soit Φ une telle formule et soient {z1, z2, . . . , zn} un
ensemble devariables quiontient toutes lesvariables de Φ.Notons
L(Φ, z1, . . . , zn) :={S(u1, u2, . . . , un)|u1, u2, . . . , un∈X∗,M |== Φ(u1, u2, . . . , un)}
Ondémontrepar réurrene sur|Φ|+nque L(Φ, z1, . . . , zn) est rationnel.
Base :Φest atomique etn≤2.
Sin= 2 :d'aprèslaquestion 2,L(Φ, z1, z2) estrationnel.
Si n = 1 : alors z1 = z2. Dans e as, L(Φ, z1) = X∗ ou L(Φ, z1) = ∅, don L(Φ, z1) est
rationnel.
Cas 1(ajout d'une variable) :z1 n'apparait pasdansΦ.
Par hypothèse de réurrene, L(Φ, z2, . . . , zn) est rationnel. Soit π2,n : ((X ∪ {#})n)∗ → ((X∪ {#})n−1)∗ l'homomorphisme déni par
π2,n(a1, a2, . . . , an) = (a2, . . . , an).
SoitSUPn ⊆((X∪ {#})n)∗ l'ensemble dessuperpositions denmots de X.
SUPn={u∈((X∪ {#})n)∗| ∀i∈[1, n], πi(u)∈X∗· {#}∗ et∃i∈[1, n], πi(u)∈X∗},
oùπi : ((X∪ {#})n)∗ →(X∪ {#})∗ estlaprojetion surlai-ièmeomposante. Commel'en-
sembledeslangagesrationnelsestlosparhomomorphismeinverseetparopérationsbooénnes,
SUPn estrationnel.
Or
L(Φ, z1, z2, . . . , zn) =π−12,n(L(Φ, z2, . . . , zn)·(#, . . . ,#)∗)∩SUPn.
DonL(Φ, z1, z2, . . . , zn)est rationnel.
Cas 2(onneteur) :Φ =ψ◦θ, n≥0 où◦ estl'un desonneteurs ∨,∧,¬. L(Φ, z1, z2, . . . , zn) = L(ψ, z1, z2, . . . , zn)⊙L(θ, z1, z2, . . . , zn)
où⊙est l'opérateur booléenqui traduitleonneteur◦ selon leditionnaire:
(∨,∧,¬)→(∪,∩, L7→(SUPn−L))
Cas 3(quantiateurexistentiel) :Φ =∃z1ψ.
Posons
P := [π2,n(L(ψ, z1, z2, . . . , zn)).
Par hypothèsede réurrene P estrationnel.
Les mots de L(Φ, z1, z2, . . . , zn) sont les superpositions de n mots de X∗ dont la proje-
tion sur les omposantes 2,3, . . . , n (i.e. l'image par π2,n) est égale à elle d'un mot de L(ψ, z1, z2, . . . , zn),saufpourun suxedans(#,#, . . . ,#)∗.Plusformellement :
L(Φ, z1, z2, . . . , zn) = [π−12,n(P((#, . . . ,#)∗)−1)∪π2,n−1(P(#, . . . ,#)∗)]∩SUPn.
Les propriétés de stabilité de l'ensemble des langages rationnels par quotient à droite, par
produit etpar opérations booléennesentrainent queL(Φ, z1, z2, . . . , zn) estrationnel.
Cas 4(quantiateuruniversel) :Φ =∀z1ψ.
On remarque queΦestéquivalenteà
Φ′ :=¬∃z1¬ψ.
Par hypothèse de réurrene L(ψ, z1, z2, . . . , zn) est rationnel. Par les transformations vues aux as2et3, ilen résulteque L(Φ, z1, z2, . . . , zn) est rationnel.
5-Soit x∈X.
Considéronsl'automateniAx=hX, Q, D, Q+, δitelque:Q:={qε, q#} ∪ {qy |y∈X}, D:=
{qε}, Q+:={q#}etδ estl'ensemblede toutes les transitionsde laforme :
qε →(y,x) qy où y∈X qy →(z,y) qz oùy ∈X, z∈X qy →(#,y) q# où y∈X qε →(#,x) q#
Cetautomate,lorsqu'ildémarredansl'étatqεetlitunmot(y0, x)(y1, y0)· · ·(yi, yi−1)· · ·(yn, yn−1),
atteint l'état qyn,
lorsqu'illit(y0, x)(y1, y0)· · ·(yi, yi−1)· · ·(yn, yn−1)(#, yn) ,atteint l'état q#,
etne peutlire,à partirde qε,quedesmots del'une de esdeuxformes. Don L(Ax) ={S(u, v)|u, v ∈X∗, x·u=v}.
6-Nous onstruisonsune formule Φ(u, v) quiexprime lefait quex·u=v.
Cette formule Φ est la onjontion de 4 formules LON G, DEB, M IL, F IN qui expriment,
repetivement, que:
|u|+ 1 =|v|
v ommene par lalettrex
siyz estunfateurde u,enpositionp,alors lalettrede v,enpositionp+ 1,estaussiy
u etv seterminent par unemême lettre y.
Posons
LON G(u, v) := sx(u)≈v
DEB(u, v) := ∀w′,[(∀w, w′ w)→(sx(w′)v)]
M IL(u, v) := ∀w,∀w′, ^
y∈X,z∈X
[(sz(sy(w))u∧(sz(sy(w))≈w′∧w′ v)→(∃w′′, sy(w′′) =w′)]
F IN(u, v) := ∀w,∃w′, ^
y∈X
[sy(w) =u→sy(w′) =v]
Ondénitalors
Φ(u, v) :=LON G(u, v)∧DEB(u, v)∧M IL(u, v)∧F IN(u, v).