(1)12.23 A B C O M Désignons par C(x;y)le centre du cercle recherché

12.23

A B

C

O

M

Désignons par C(x;y)le centre du cercle recherché.

1) Vu que le cercle passe par les points O et A, le point C se situe sur leur médiatrice :

Le milieu des pointsOet A est donné par M ⁰⁺⁴₂ ;⁰⁺⁴₂

= M(2 ; 2).

0 =⁻OA^−−−→·⁻MC =^{−−−−→}

4

4

·

x−2

y−2

= 4 (x−2) + 4 (y−2) = 4x+ 4y−16 C’est pourquoi les coordonnées du pointCvérifient l’équation x+y−4 = 0 2) Étant donné que le cercle est tangent à la droiteOBenO, les vecteurs⁻OB^−−−→

et⁻OC^−−−→sont perpendiculaires : 0 =⁻OB^−−−→·⁻OC =^−−−→

−2

3

·

x

y

=−2x+ 3y

Les coordonnées du pointC satisfont donc l’équation −2x+ 3y= 0 On détermine dès lors le pointCen résolvant le système

x + y − 4 = 0

−2x + 3y = 0 La première équation fournity =−x+ 4 que l’on remplace dans la seconde :

−2x+ 3 (−x+ 4) =−5x+ 12 = 0 d’où l’on conclutx= ¹²₅.

Par suite y=−¹²5 + 4 = ⁸₅, si bien que le centre du cercle est C ¹²₅ ;⁸₅ . Il reste encore à calculer le rayon de ce cercle :

k⁻OC^−−−→k=

12

5 8 5

=

4 5

3

2

=|⁴5|

3

2

= ⁴₅√

3²+ 2² = ⁴₅√

13 = ^4√₅¹³

Géométrie : produit scalaire Corrigé 12.23