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C est un cercle de centre O et de rayon 1.

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Terminale S

Devoir surveillé n

4

2017 - 2018

NOM : CLASSE :

EXERCICE 1 (4 points)

C est un cercle de centre O et de rayon 1.

[CD] est un diamètre de C et A est un point de C tel que AOD \ = θ avec θ ∈]0; π[.

B est le point de C tel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I .

1. On note S(θ) l’aire du triangle ACB en fonction de θ.

Prouver que,

S(θ) = sin(θ)(1 + cos(θ)) pour tout θ de ]0; π[.

2. On admet que S est dérivable sur ]0; π[. Déterminer S

(θ) et vérifier que S

π

3

= 0.

3. Voici la courbe représentative de S

sur ]0; π[ :

θ

π3

bc

bc bc

fenêtre : 0 6 X 6 π pas de π

3 et −1 6 Y 6 2 pas de 1.

(a) Dresser le tableau de variations de la fonction S sur l’intervalle ]0; π[. En déduire la valeur de θ pour laquelle l’aire du triangle ABC est maximale.

(b) BONUS : Quelle est alors la nature du triangle ABC ?

C A

B

θ O

bc

bc

bc bc

bc bc

I D

• • •

EXERCICE 2 (7 points)

On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = e

x

+ 1 x . 1. Étude d’une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur [0; +∞[ par g(x) = x

2

e

x

− 1.

(a) Étudier les variations de g et déterminer sa limite en +∞. On dressera son tableau de variations.

(b) Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à [0; +∞[ tel que g(a) = 0.

(c) Déterminer un encadrement de a à 10

3

. (d) Déterminer le signe de g(x) sur [0; +∞[ . 2. Étude de la fonction f

(a) Étudier les limites f en +∞ et en 0.

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur 2

(2)

Terminale S

Devoir surveillé n

4

2017 - 2018

(b) Montrer que pour tout x appartenant à ]0; +∞[ on a f

(x) = g(x) x

2

.

(c) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variations sur ]0; +∞[.

(d) Démontrer que f admet pour minimum le nombre réel m = 1 a

2

+ 1

a . (e) Justifier que 3, 43 < m < 3, 45.

• • •

EXERCICE 3 Restitution organisée de connaissances (3 points) On suppose comme admis

• Il existe une fonction f dérivable sur R telle que f

= f et f (0) = 1.

• Toute fonction f dérivable sur R telle que f

= f et f (0) = 1 ne s’annule pas sur R et vérifie pour tout réel x , f (x) × f(−x) = 1 .

Démontrer alors que la fonction f définie et dérivable sur R telle que f

= f et f (0) = 1 est unique.

• • •

EXERCICE 4 (3 points)

On considère l’équation (E) : z

3

− (4 + i)z

2

+ (7 + i)z − 4 = 0 où z désigne un nombre complexe.

1. Déterminer une solution entière évidente de (E) .

2. Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que :

z

3

− (4 + i)z

2

+ (7 + i)z − 4 = (z − 1)(z − 2 − 2i)(az + b).

3. Résoudre (E).

• • •

EXERCICE 5 (5 points)

Le plan complexe est rapporté au repère (O; ~ u, ~ v).

Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z différent de i associe le point M’ d’affixe z

telle que : z

= z − 1 + 2i

zi .

1. Calculer l’affixe a

du point A’ image du point A d’affixe a = 1 + 3i par f.

2. Déterminer l’affixe b du point B qui a pour image par f le point B’ d’affixe b

= 3i.

3. On pose z = x + iy avec x et y des réels et (x; y) 6= (0; 1).

(a) Montrer que la forme algébrique de z

est : z

= x

2

+ y

2

x + y − 2

x

2

+ (y − 1)

2

+ i 3x + y − 1 x

2

+ (y − 1)

2

. (b) Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan complexe d’affixe z tel que z

soit réel.

(c) Déterminer l’ensemble (F ) des points M du plan complexe d’affixe z tel que z

soit imaginaire pur.

Donner ses éléments caractéristiques.

Rappel : Dans un repère orthonormé , une équation du cercle de centre I de coordonnées (a; b) et de rayon r est : (x − a)

2

+ (y − b)

2

= r

2

.

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