Terminale S
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◦4
2017 - 2018NOM : CLASSE :
EXERCICE 1 (4 points)
C est un cercle de centre O et de rayon 1.
[CD] est un diamètre de C et A est un point de C tel que AOD \ = θ avec θ ∈]0; π[.
B est le point de C tel que la corde [AB] est perpendiculaire à (CD) en I .
1. On note S(θ) l’aire du triangle ACB en fonction de θ.
Prouver que,
S(θ) = sin(θ)(1 + cos(θ)) pour tout θ de ]0; π[.
2. On admet que S est dérivable sur ]0; π[. Déterminer S
′(θ) et vérifier que S
′π
3
= 0.
3. Voici la courbe représentative de S
′sur ]0; π[ :
θ
π3bc
bc bc
fenêtre : 0 6 X 6 π pas de π
3 et −1 6 Y 6 2 pas de 1.
(a) Dresser le tableau de variations de la fonction S sur l’intervalle ]0; π[. En déduire la valeur de θ pour laquelle l’aire du triangle ABC est maximale.
(b) BONUS : Quelle est alors la nature du triangle ABC ?
C A
B
θ O
bc
bc
bc bc
bc bc
I D
• • •
EXERCICE 2 (7 points)
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par f (x) = e
x+ 1 x . 1. Étude d’une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur [0; +∞[ par g(x) = x
2e
x− 1.
(a) Étudier les variations de g et déterminer sa limite en +∞. On dressera son tableau de variations.
(b) Démontrer qu’il existe un unique réel a appartenant à [0; +∞[ tel que g(a) = 0.
(c) Déterminer un encadrement de a à 10
−3. (d) Déterminer le signe de g(x) sur [0; +∞[ . 2. Étude de la fonction f
(a) Étudier les limites f en +∞ et en 0.
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◦4
2017 - 2018(b) Montrer que pour tout x appartenant à ]0; +∞[ on a f
′(x) = g(x) x
2.
(c) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variations sur ]0; +∞[.
(d) Démontrer que f admet pour minimum le nombre réel m = 1 a
2+ 1
a . (e) Justifier que 3, 43 < m < 3, 45.
• • •
EXERCICE 3 Restitution organisée de connaissances (3 points) On suppose comme admis
• Il existe une fonction f dérivable sur R telle que f
′= f et f (0) = 1.
• Toute fonction f dérivable sur R telle que f
′= f et f (0) = 1 ne s’annule pas sur R et vérifie pour tout réel x , f (x) × f(−x) = 1 .
Démontrer alors que la fonction f définie et dérivable sur R telle que f
′= f et f (0) = 1 est unique.
• • •
EXERCICE 4 (3 points)
On considère l’équation (E) : z
3− (4 + i)z
2+ (7 + i)z − 4 = 0 où z désigne un nombre complexe.
1. Déterminer une solution entière évidente de (E) .
2. Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que :
z
3− (4 + i)z
2+ (7 + i)z − 4 = (z − 1)(z − 2 − 2i)(az + b).
3. Résoudre (E).
• • •
EXERCICE 5 (5 points)
Le plan complexe est rapporté au repère (O; ~ u, ~ v).
Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z différent de i associe le point M’ d’affixe z
′telle que : z
′= z − 1 + 2i
z − i .
1. Calculer l’affixe a
′du point A’ image du point A d’affixe a = 1 + 3i par f.
2. Déterminer l’affixe b du point B qui a pour image par f le point B’ d’affixe b
′= 3i.
3. On pose z = x + iy avec x et y des réels et (x; y) 6= (0; 1).
(a) Montrer que la forme algébrique de z
′est : z
′= x
2+ y
2− x + y − 2
x
2+ (y − 1)
2+ i 3x + y − 1 x
2+ (y − 1)
2. (b) Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan complexe d’affixe z tel que z
′soit réel.
(c) Déterminer l’ensemble (F ) des points M du plan complexe d’affixe z tel que z
′soit imaginaire pur.
Donner ses éléments caractéristiques.
Rappel : Dans un repère orthonormé , une équation du cercle de centre I de coordonnées (a; b) et de rayon r est : (x − a)
2+ (y − b)
2= r
2.
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