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H(x,y) et enfin posons r le rayon du cercle fixe de centre C1

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Academic year: 2022

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(1)

D1814 Problème proposé par Pierre Leteurtre

On donne dans le plan un cercle fixe (Γ) et deux points fixes A et B par lesquels passe un cercle variable (γ).

Déterminer le lieu du centre d'homothétie qui permet de passer de (Γ) à (γ).

SOLUTION

Soit H le centre d’homothétie faisant passer du cercle de centre C1 au cercle de centre C.

Posons O comme origine des axes et choisissons OA comme unité : OA = 1 Choisissons O(0,0) ; A(0,1) ; B(0,-1) ; C1(c,d) ; C2(a,0) ; H(x,y) et enfin posons r le rayon du cercle fixe de centre C1.

Le rayon du cercle de centre C2 est r’ tel que r’² = a² + 1

Cas général de l’équation non réduite d’une conique : ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f

Si ac-b²>0  ellipse Si ac-b² <0  hyperbole Si ac-b² =0  parabole

(2)

Voici le brouillon de mes calculs…

Les graphiques suivants permettent de vérifier ces résultats.

(3)

Cas de l’hyperbole :

r, rayon du cercle de centre C1 donne r>1 soit avec les choix précédents soit : r > OA

l’ellipse :

r, rayon du cercle de centre C1 donne r<1 soit : r < OA

(4)

la parabole :

r, rayon du cercle de centre C1 donne r<1 soit : r = OA

Références

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