D1814 Problème proposé par Pierre Leteurtre
On donne dans le plan un cercle fixe (Γ) et deux points fixes A et B par lesquels passe un cercle variable (γ).
Déterminer le lieu du centre d'homothétie qui permet de passer de (Γ) à (γ).
SOLUTION
Soit H le centre d’homothétie faisant passer du cercle de centre C1 au cercle de centre C.
Posons O comme origine des axes et choisissons OA comme unité : OA = 1 Choisissons O(0,0) ; A(0,1) ; B(0,-1) ; C1(c,d) ; C2(a,0) ; H(x,y) et enfin posons r le rayon du cercle fixe de centre C1.
Le rayon du cercle de centre C2 est r’ tel que r’² = a² + 1
Cas général de l’équation non réduite d’une conique : ax² + 2bxy + cy² + 2dx + 2ey + f
Si ac-b²>0 ellipse Si ac-b² <0 hyperbole Si ac-b² =0 parabole
Voici le brouillon de mes calculs…
Les graphiques suivants permettent de vérifier ces résultats.
Cas de l’hyperbole :
r, rayon du cercle de centre C1 donne r>1 soit avec les choix précédents soit : r > OA
l’ellipse :
r, rayon du cercle de centre C1 donne r<1 soit : r < OA
la parabole :
r, rayon du cercle de centre C1 donne r<1 soit : r = OA
