Enoncé D1815 (Diophante) Entrelacs dans une conique
A une conique fixe et à un cercle variable passant par les foyers on mène les tangentes communes. Déterminer le lieu de leurs points de contact avec le cercle.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Je prends le centre et le grand axe de la conique comme origine O et axe OX; les foyers sont F(c,0) et F0(−c,0). La conique a pour équation X2/a2+Y2/(a2−c2) = 1.
Soit M(x, y) un point du lieu cherché. Le cercle circonscrit au triangle M F F0 a une équation de la forme X2+Y2−2mY −c2 = 0, c’est donc y(X2+Y2−c2)−Y(x2+y2−c2) = 0.
La tangente en M a pour équation (forme polaire de l’équation du cercle) 2yxX+ 2y2Y −Y(x2+y2−c2) =y(x2+y2+c2), (le second membre est déterminé par le passage de la tangente en M) soit
2xyX=Y(x2−y2−c2) +y(x2+y2+c2).
Substituant X dans l’équation de la conique
(Y(x2−y2−c2) +y(x2+y2+c2))2 = 4a2x2y2(1−Y2/(a2−c2)).
La condition de racine double pour ce trinôme en Y donne l’équation du lieu cherché
y2(x4−(y2+c2)2)2 =
=y2(4a2x2−(x2+y2+c2)2)(4a2x2y2/(c2−a2)−(x2−y2−c2)2).
Développant ces expressions, le polynôme du 10e degré obtenu se factorise en x2y2((x−c)2+y2)((x+c)2+y2)(y2+c2−a2).
On voit qu’il s’annule sur l’axe Oy et l’axe Ox (solutions parasites, ces points ne pouvant en général être points de contact avec un cercle par F et F0), sur le cercle-pointF et le cercle-pointF0 (tangentes isotropes à la conique), et sur le couple de droites y =±√
a2−c2, imaginaires dans le cas de l’hyperbole (a < c), réelles dans le cas de l’ellipse (a > c), dont elles sont les tangentes aux sommets du petit axe.
Toute tangente réelle à l’hyperbole rencontre le segmentF F0et est sécante à tout cercle passant parF etF0. Cela explique le caractère imaginaire du lieu dans ce cas.
A titre de vérification, prenonsM sur y=b; la tangente en M au cercle circonscrit au triangleM F F0 est comme ci-dessus
2bxX+ 2b2Y −Y(x2+b2−c2) =b(x2+b2+c2), où x est le paramètre dont dépend la droite ayant (X, Y) comme point courant.
Le point de contact de cette droite avec son enveloppe vérifie (dérivation enx) 2bX−2xY = 2bx.
Ce système de deux équations en (X, Y) fournit la représentation paramé- trique X = 2a2x/(a2+x2), Y =b(a2−x2)/(a2+x2), ou équivalemment X=asin(2 arctan(x/a)), Y =bcos(2 arctan(x/a)).
Le point de contact avec l’enveloppe parcourt toute l’ellipse d’équation X2/a2+Y2/b2 = 1. Il en est de même quandM parcourt la droitey=−b.
