x2+y2 est une fonction de Liapounov

ENS Lyon Syst`emes Dynamiques

M1 2007-2008

TD 4 : Comportement au voisinage d’un point singulier

Exercice 1

On consid`ere l’´equation diff´erentielle x<sup>0</sup> = f(x) dans R<sup>n</sup>, o`u f est localement lips- chitzienne. Soit φ le flot associ´e et x₀ un point singulier asymptotiquement stable.

Montrer queU :={x/ φ_t(x) est d´efini jusqu⁰en +∞etφ_t(x)−−−−→

t→+∞ x₀} est ouvert.

Exercice 2

Soit l’´equation diff´erentielle suivante dans R² :

x⁰ =y

y⁰ =−x−y³ .

1. Etudier l’allure des trajectoires du syst`eme lin´earis´e au voisinage de l’origine.

Peut-on en d´eduire l’allure des trajectoires pour le syst`eme non lin´eaire ? 2. Montrer queL(x, y) = x²+y² est une fonction de Liapounov. Conclusion ?

Exercice 3

On consid`ere l’´equation de Li´enard x<sup>00</sup> +f(x)x<sup>0</sup> + g(x) = 0, o`u f est `a valeurs strictement positives, etxg(x)>0 pour tout x6= 0.

1. Ecrire l’´equation comme un syst`eme du premier ordre. Quels sont les points singuliers ?

2. Montrer que L(x, y) = y²/2 +Rx

0 g(u)du est une fonction de Liapounov pour ce syst`eme.

Exercice 4

Pour les syst`emes diff´erentiels suivants :

x⁰ =−x³−y

y⁰ =x−y³ , x⁰ = 2y³−x⁵

y⁰ =−x−y³+y⁵ , x⁰ =y

y⁰ =e^−x2(x+y) ,

v´erifier que l’origine est un point singulier et ´etudier sa stabilit´e `a l’aide du th´eor`eme de Liapounov.Indication : chercher une fonction de Liapounov sous la formex^2k+y^2l pour les deux premiers, s’inspirer de l’exercice 3 pour le troisi`eme.

Exercice 5

Soitf :Rⁿ→Rⁿde classeC¹ telle quef(0) = 0. On noteA =df0, et on suppose que les valeurs propres (distinctes)λ₁, . . . , λ_kdeAsont toutes de partie r´eelle strictement n´egative.

1. On note σ=−Max

j (Reλ_j). Montrer qu’il existe un polynˆome P tel que

∀t ∈R, ∀x∈Rⁿ, e^tAx

≤P(|t|)e^−σtkxk.

1

2. Montrer que

L:x7→

Z +∞

0

ke^tAxk²dt

est bien d´efinie et quedL_x.Ax=−kxk². En d´eduire queLest une fonction de Liapounov pour l’´equation x⁰ =Ax.

3. Montrer queL est une fonction de Liapounov pour l’´equationx⁰ =f(x).

Exercice 6

SoitXle champ de vecteurs d´efini parX(x, y) = (siny,−sinx) sur le tore R/2πZ

2

. Quelles sont les singularit´es de X? Sont-elles hyperboliques ? Dans ce dernier cas, donner les espaces tangents aux vari´et´es stables et instables.

Exercice 7

Soit A ∈ SL3(C), qu’on fait agir sur C³ \ {0}. On suppose que A a trois valeurs propres telles que |λ₁|<|λ₂|<|λ₃|.

1. Montrer queA induit un diff´eomorphismeψ de classeC^∞ de l’espace projectif complexe CP² = (C³ \ {0})_/C^∗.

2. Montrer que les points p´eriodiques de ψ sont hyperboliques, et d´ecrire leurs vari´et´es stables et instables.

2