y) =p 1 9 x2 y2 (e) f(x

ISAE Application de l’analyse à la géométrie TD1 Prof: J.Saab

1. Déterminer le domaine de dé…nition de chacune des fonctions suivantes:

(a) f(x; y) = arcsin^x_y (b) f(x; y) =^arcsin_arcsin^x_y

(c) f(x; y) = ln_{1 x}^x2 y²

(d) f(x; y) =p ¹

9 x² y²

(e) f(x; y) = ln(2x+y 2)

2. Trouver les limites suivantes:

(a) lim

(x;y)!(0;0) x² y² 1+x²+y²

(b) lim

(x;y)!(1;0) xsiny

x²+1

(c) lim

(x;y)!(0;0)

(1+y²) sinx x

(d) lim

(x;y)!(0;0)

x³ x²y+xy² y³ x²+y²

(e) lim

(x;y)!(1;2)

xy 2x y+2 x²+y² 2x 4y+5

3. On donne la fonction de deux variables réellesf(x; y) = arcsin(x y) et soit la fonction réelle de la variable réeellet; g(t) =t² 1

(a) Trouver lim

(x;y)!(1;1)g f(x; y)

(b) Utiliser la règle de chaîne pour calculer les dérivées parielles de h(x; y) =g f(x; y)

4. Soitf(x; y) =x² y²:on suppose quexety sont fonctions des variablesuetv: x(u; v) =e^usinv ; y(u; v) =e ^ucosv

Sans exprimerf en termes deuet v;trouver en utilisant la règle de chaïne, les dérivées partielles premières, par rapport àuetv def(x(u; v); y(u; v))

5. Etudier la contnuité à l’origine de chacune des fonctions suivantes:

(a) f(x; y) =

( x² y²

x²+y² si (x; y)6= (0;0) 0 si (x; y) = (0;0)

(b) f(x; y) =

( x³y³

x¹²+y⁴ si (x; y)6= (0;0) 0 si (x; y) = (0;0) (c) f(x; y) =

sinxy

x²+y² si (x; y)6= (0;0) 0 si (x; y) = (0;0)

1

6. Trouver le développement limité à l’ordre2 au voisinage deA(1;1) de la fonctionf(x; y) =^y_x²3

7. Soit

f(x; y) =x³+y³ 3x 12y+ 2

(a) Déterminer les extremums relatifs def

(b) Etudier les extremums def, d’abord sur la droitex= 1 et ensuite sur la droitey= 2: Commenter!

8. Etudier les extremums def dans chacun des cas suivants:

a) f(x; y) =x²+ 2xy+ 3y² b) f(x; y) = 4x³ 2x²y+y² c) f(x; y) =_x+y^x 9. Calculer dans chaque cas les dérivées partielles premières et secondes de la fonctionf :

a) f(x; y) = ln(xy) b) f(x; y) = arctan^y_x c) f(u; v) =p

u²+v² d) f(x; y) =y^x

e) f(t; ) = cos(2 t ) f) f(P; V; ; ; g) =P V +V ² 2g

10. Soit

f(x; y; z) =

( xyz

x³+y³+z³ si x³+y³+z³6= 0 0 si x³+y³+z³= 0

Montrer quef_x; f_y etf_z existent en(0;0;0)mais quef n’est pas di¤érentiable en(0;0;0)

11. Soit f(x; y) = _y^x2

(a) Calculerdf(1;1)

(b) En déduire une valeur approximative def(1:01;0:9)

2