UNIVERSITE CADI AYYAD Facult´e PolyDisciplinaire de Safi
TD d’Analyse 6 Int´egrales doubles et triples
D´epartement Maths–Info.
Fili`ere SMA(S4) (A.U : 19-20)
Exercice 1. Calculer l’int´egrale double suivante : J =
Z Z
D
xy
1 +x2+y2dxdy.
o`u
D=
(x, y)∈R2 : 0≤x≤1, 0≤y≤1, x2+y2≥1
. Solution 1. On peut ´ecrireD sous la forme
D=
(x, y)∈R2 : 0≤x≤1, p
1−x2 ≤y≤1
.
x y
0 1
1
On poseg1(x) =√
1−x2 etg2(x) = 1. Les fonctionsg1 et g2 sont continues sur [0,1], alors, par le th´eor`eme de Fubini, D est une partie quarrable, de plus elle est compacte (ferm´ee born´ee). La fonction f est continue sur la partie D quarrable et compacte, elle est donc int´egrable sur D. Par le th´eor`eme de Fubini et une int´egration par parties, on obtient
J = Z Z
D
xy
1 +x2+y2dxdy=
1
Z
0
x
1
Z
√1−x2
y
1 +x2+y2dy
! dx
=
1
Z
0
x
"
1
2ln(1 +x2+y2)dy
#1
√1−x2
dx
=
1
Z
0
x
2 ln(2 +x2)dx−
1
Z
0
x
2ln(2)dx
= 1 4
1
Z
0
(2 +x2)0ln(2 +x2)dx−
1
Z
0
x
2 ln(2)dx
= 1 4
h
(2 +x2) ln(2 +x2)i1 0−
1
Z
0
2xdx
−
1
Z
0
x
2ln(2)dx
= 1 4
3 ln(3)−2 ln(2)−1−ln(2)
= 3 4ln(3
2)−1 4.
Exercice 2. Calculer l’int´egrale double suivante : J =
Z Z
D
px2+y2dxdy.
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o`u
D=
(x, y)∈R2 : x≥0, 1≤x2+y2 ≤2y
.
x2+y2 = 2y⇒x2+ (y−1)2 = 1 le cercle de centre (0,1) et de rayon 1.
x y
0 1 2
1 2
D est la partie grise.
Solution 2. On applique le th´eor`eme de changement en coordonn´ees polaires : on pose x=rcos(θ) et y=rsin(θ). Les conditions surD donnent
rcos(θ)≥0⇒θ∈[−π 2,π
2], et
1≤r2 ≤2rsin(θ)⇒1≤r≤2 sin(θ) et 2 sin(θ)≥1⇒1≤r ≤2 sin(θ) et θ≥ π 6 Ce qui donne que
1≤r ≤2 sin(θ) et θ∈[π 6,π
2].
Alors
J = Z Z
D
p2+y2dxdy =
π
Z2
π 6
2 sin(θ)
Z
1
rrdrdθ
= 1 3
π
Z2
π 6
(8 sin3(θ)−1)dθ
=−π 9 +8
3
π
Z2
π 6
(1−cos2(θ) sin(θ)dθ
=−π 9 +8
3
√ 3
Z2
0
(1−u2)du (u= cos(θ), du=−sin(θ)dθ)
=−π 9 +√
3.
Exercice 3. Calculer les deux int´egrales doubles suivantes:
I = Z Z
D
(x+y)2
x2+y2+ 1dxdy, J = Z Z
∆
(x2+y2)dxdy,
o`uD={(x, y)∈R2|x2+y2≤1}et ∆ ={(x, y)∈R2|x2+y2≤1, x≥0, y ≥0}.
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Solution 3. 1. On applique le th´eor`eme de changement en coordonn´ees polaires : on pose x=rcos(θ) et y=rsin(θ). Les conditions surD donnent
x2+y2≤1⇒0≤r ≤1 θ∈[0,2π], donc
I = Z Z
D
(x+y)2 x2+y2+ 1dxdy
=
1
Z
0 2π
Z
0
(rcos(θ) +rsin(θ))2
(rcos(θ))2+ (rsin(θ))2+ 1rdrdθ
=
1
Z
0 2π
Z
0
r31 + sin(2θ) r2+ 1 drdθ
=
1
Z
0
r3 r2+ 1dr
2π
Z
0
(1 + sin(2θ)dθ.
Par une int´egration par parties, on a
1
Z
0
r3
r2+ 1dr =
1
Z
0
1 2r2 2r
r2+ 1dr
=
1
Z
0
1
2r2(r2+ 1)0 r2+ 1 dr
= 1 2
h
r2ln(1 +r2)i1 0
−
1
Z
0
2rln(1 +r2)dr
= ln(2) 2 −1
2
1
Z
0
(1 +r2)0ln(1 +r2)dr
= ln(2) 2 −12h
(1 +r2) ln(1 +r2)i1 0−
1
Z
0
2rdr
= 1−ln(2)
2 .
On a aussi
2π
Z
0
(1 + sin(2θ)dθ= h
θ−1
2cos(2θ) i2π
0 = 2π.
D’o`u
Z Z
D
(x+y)2
x2+y2+ 1dxdy= 2π1−ln(2) 2 2. Calculons
J = Z Z
∆
(x2+y2)dxdy, o`u ∆ ={(x, y)∈R2|x2+y2≤1, x≥0, y ≥0}.
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On applique le th´eor`eme de changement en coordonn´ees polaires : on pose x = rcos(θ) et y=rsin(θ). Les conditions surD donnent
x2+y2≤1, x≥0, y≥0⇒0≤r≤1 θ∈[0,π 2].
Donc
J = Z Z
∆
(x2+y2)dxdy
=
1
Z
0
π 2
Z
0
r3drdθ=
1
Z
0
r3dr
π 2
Z
0
dθ
= π 8. Exercice 4. Soit l’ensemble suivant :
D=
(x, y)∈R2 : x2+y2−2y≥0, x2+y2 ≤1
. 1. Tracer D.
2. Montrer que Dest une partie quarrable.
3. Calculer l’int´egrale double suivante : J =
Z Z
D
px2+y2dxdy.
Solution 4. 1. On a
x2+y2≥2y⇒x2+y2−2y+ 1≥1⇒x2+ (y−1)2≥1 Donc Dpeut ˆetre repr´esenter comme suit.
x y
−2 0 2
1
1 -1
2
Dest la partie grise.
2. Rappel: Si A etB sont quarrables alorsA∩B, A∪B, A\B, A,A˚sont quarrables.
On a
D=D1\D1∩D2,
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o`u D1=
(x, y)∈R2 : x2+y2 ≤1
et D2=
(x, y)∈R2 : x2+ (y−1)2 ≤1
. On sait d´ej`a que D1 et D2 sont quarrables. Donc D1 ∩ D2 sont quarrables. Par cons´equent D=D1\D1∩D2 est quarrables.
3. On peut ´ecrire D sous la forme D=
(x, y)∈R2 : 2y≤x2+y2 ≤1
.
On applique le th´eor`eme de changement en coordonn´ees polaires : on posex=rcos(θ) ety =rsin(θ). Les conditions surD donnent
Ce qui donne que
2rsin(θ)≤r2≤1⇒2 sin(θ)≤r≤1 et sin(θ)≤ 1
2 = sin(π
6)⇒θ∈[0,π 6]
∆ =
(r, θ)∈R2 : 2 sin(θ)≤r≤1, 0≤θ≤ π 6
, donc
J = Z Z
D
px2+y2dxdy
= Z Z
∆
r.rdrdθ
=
π 6
Z
0 1
Z
2 sin(θ)
r.rdrdθ
= 1 3
π
Z6
0
h r3
i1
2 sin(θ)dθ
= 1 3
π 6
Z
0
h
1−8 sin3(θ)i dθ
= π 18 −8
3
π
Z6
0
(1−cos2(θ)) sin(θ)dθ
= π 18 −8
3
1
Z
√ 3 2
(1−u2)du (u= cos(θ), du=−sin(θ)dθ)
= π 18 −8
3 h
u−13u3 i1
√ 3 2
= π 18 −8
3 h
(1−
√ 3
2 )−13(1−(
√ 3 2 )3)i
= π 18 −8
3 h
1−
√ 3
2 −13 +133
√ 3 8
i
= π 18 −16
9 +√ 3
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Exercice 5. Soit aun r´eel strictement positif, on d´efinit les deux ensembles suivants : Ka= [0, a]×[0, a], Da=
(x, y)∈([0,+∞[)2 : x2+y2 ≤a2
.
L’objectif de cet exercice est de calculer l’int´egrale de Gauss suivante : I =
+∞
Z
0
e−x2dx
1. Montrer que : I2 = lim
a→+∞
Z Z
Ka
e−x2−y2dxdy.Calculer Z Z
Da
e−x2−y2dxdy.
2. En remarquant que Da⊂Ka⊂Da√2, calculerI.
Solution 5. On a le sch´ema suivant:
x y
a a
Ka
Da
Da√2
1. Puisque les variables xet y sont s´epar´ees alors Z Z
Ka
e−x2−y2dxdy =
a
Z
0
e−x2dx
a
Z
0
e−y2dy
= Za
0
e−x2dx 2
CommeI =
+∞
Z
0
e−x2dxest convergente alors
I = lim
a→+∞
Za
0
e−x2dx
Donc
I2 = lim
a→+∞
Za
0
e−x2dx 2
= lim
a→+∞
Z Z
Ka
e−x2−y2dxdy.
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On applique le th´eor`eme de changement en coordonn´ees polaires : on posex=rcos(θ) ety =rsin(θ). On a
Z Z
Da
e−x2−y2dxdy =
a
Z
0
π
Z2
0
e−r2rdrdθ
= π
4(1−e−a2) 2. On a
Da⊂Ka⊂Da√2, donc par croissance de l’int´egrale double
Z Z
Da
e−x2−y2dxdy ≤ Z Z
Ka
e−x2−y2dxdy≤ Z Z
Da√2
e−x2−y2dxdy
Par cons´equent π
4(1−e−a2) ≤ Z Z
Ka
e−x2−y2dxdy ≤ π
4(1−e−2a2) En faisant tendre avers +∞, nous obtenons
π
4 ≤I2 = lim
a→+∞
Z Z
Ka
e−x2−y2dxdy ≤ π 4. Ce qui donne
I =
√π 2 . Exercice 6. Soit l’int´egrale I =
1
Z
0
ln(1 +x) 1 +x2 dx.
1. Soit D le pav´e [0,1]×[0,1]. Montrer queI = Z Z
D
xdxdy (1 +x2)(1 +xy). 2. En intervertissant les rˆoles de xety, montrer que
2I = Z Z
D
(x+y)dxdy (1 +x2)(1 +y2). 3. D´eduire la valeur de I.
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Solution 6. 1. On a Z Z
D
xdxdy
(1 +x2)(1 +xy) =
1
Z
0
1 1 +x2
Z1
0
x 1 +xydy
dx
=
1
Z
0
1 1 +x2
h
ln(1 +xy)i1 0dx
=
1
Z
0
ln(1 +x)
1 +x2 dx=I.
2. En pose le changement de variables
ϕ: [0,1]×[0,1]−→[0,1]×[0,1]
(x, y)7−→ϕ(x, y) := (y, x),
On a det(Jϕ) =−16= 0. ϕ est clairement bijective, donc c’est un C1-diff´eomorphisme.
Par le th´eor`eme de changement de variable, I =
Z Z
D
ydydx (1 +y2)(1 +xy). Donc
2I = Z Z
D
xdxdy
(1 +x2)(1 +xy) + Z Z
D
ydydx (1 +y2)(1 +xy)
= Z Z
D
x
1 +x2 + y 1 +y2
1
1 +xydxdy
= Z Z
D
(x+y)(1 +xy) (1 +x2)(1 +y2)
1
1 +xydxdy
= Z Z
D
(x+y)
(1 +x2)(1 +y2)dxdy.
3. Il suffit maintenant de calculer cette derni`ere int´egrale. 0n a puisque les variables sont s´epar´ees
Z Z
D
x
(1 +x2)(1 +y2)dxdy =
1
Z
0
xdx 1 +x2
1
Z
0
dy 1 +y2
= 1 2 h
ln(1 +x2)i1 0
h
arctan(y)i1
0 = πln(2) 8 . En changeant les rˆoles de x et de y, on a aussi
Z Z
D
y
(1 +x2)(1 +y2)dxdy = πln(2) 8 . Par cons´equent
I = πln(2) 8 .
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Exercice 7. Calculer l’int´egrale double suivante : I =
Z Z
D
xy
(x2+y2+ 1)2dxdy, o`uD={(x, y)∈R2 : x2+y2≥1, 0≤x≤1, 0≤y≤1}.
Solution 7. 1. On peut ´ecrireD sous la forme D=
(x, y)∈R2 : 0≤x≤1, p
1−x2 ≤y≤1
.
x y
0 1
1
D’apr`es l’Exercice 1, D est une partie quarrable compacte. La fonction f est continue sur la partie Dquarrable et compacte, elle est donc int´egrable sur D. Par le th´eor`eme de Fubini et une int´egration par parties, on obtient
J = Z Z
D
xy
(1 +x2+y2)2dxdy =
1
Z
0
x
1
Z
√1−x2
y
(1 +x2+y2)2dy
! dx
= 1 2
1
Z
0
x
1
Z
√1−x2
∂(1+x2+y2)
∂y
(1 +x2+y2)2dy
! dx
= 1 2
1
Z
0
x
"
− 1
1 +x2+y2
#1
√ 1−x2
dx
= 1 2
1
Z
0
x h
− 1 2 +x2 +1
2 i
dx
= 1 4 h
−ln(2 +x2) i1
0+ 1 4
hx2 2
i1 0 = 1
8− 1 4ln(3
2).
Exercice 8. Soit Dle domaine de R2 D=
(x, y)∈R2 : |x|+|y| ≤2
.
1. Tracer Det prouver que c’est une partie compacte quarrable deR2. 2. Claculer J =
Z Z
D
dxdy.
3. Calculer I = Z Z
D
dxdy (|x|+|y|)2+ 4.
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Exercice 9. Calculer les int´egrales doubles suivantes : 1. I =
Z Z
D
(yx2+y3)dxdy, avec D=
(x, y)∈R2 : 12 ≤x2+y2≤3, y≥0
.
2. J = Z Z
D
dxdy
2 +e−x2−4y2, avec D=
(x, y)∈R2 : x2+ 4y2 ≤16, x≥0 y≥0
.
3. K = Z Z
D
(x+y)2dxdy, avecD=
(x, y)∈R2 : y ≥0, x2+y2−x≤0, x2+y2−y≥0
.
Exercice 10. SoitD le domaine deR2 tel que D=
(x, y)∈(]0,+∞[)2 : x≤y≤2x et 1
x ≤y ≤ 2 x
. 1. Tracer D.
2. Montrer que le changement de variable φ: (u, v)∈∆7→(x= rv
u, y =√
uv)∈Do`u ∆ est un domaine `a d´eterminer, est unC1−diff´eomorphisme.
3. Calculer l’aire de D.
Exercice 11. 1. Calculer A = Z Z
D
dxdy
(1 +x2)((1 +y2), o`u D = {(x, y) ∈R2|0 ≤y ≤x ≤ 1}.
2. D´emontrer la convergence des int´egrales B =
π
Z4
0
ln(2 cos2(θ))
2 cos(2θ) dθ, C =
π
Z4
0
ln(2 sin2(θ))
2 cos(2θ) dθ, D=
1
Z
0
ln(t) 1−t2dt.
3. Montrer queA=B et calculerB+CetB−Cen fonction deD. En d´eduire les valeurs de C etD.
Exercice 12. 1. Calculer le volume d’une sph`ere deR3 de centre 0 et de rayon R.
2. Calculer les deux int´egrales triples suivantes:
I = Z Z Z
D
cos(x)dxdydz, J = Z Z Z
∆
z
px2+y2dxdydz,
o`u D={(x, y, z) ∈R3 : x2+y2+z2 <1} et ∆ = {(x, y) ∈R2 : x2+y2 ≤a2, 0<
z < a}.
Exercice 13. Calculer les deux int´egrales triples suivantes:
I = Z Z Z
D
(x+y)zdxdydz, J = Z Z Z
D
cos(x+y+ 2z+ 1)dxdydz, o`uD={(x, y, z)∈([0,+∞[)3 : x+y+ 2z≤2}.