(a) On consid`ere les domaines D1={(x, y)∈R2, 0≤x≤1, y≥0, 1≤x2+y2 ≤4}, D2={(x, y)∈R2, 1≤x≤2, y≥0, x2+y2 ≤4}

Orsay 2009-2010 IFIPS S2 Math´ematiques (M170).

Devoir num´ero 1. A rendre en TD le 9 f´evrier au plus tard.

Exercice 1 : Aire d’un domaine plan.

On consid`ere le domaineD={(x, y)∈R², x+y ≤3, 2y−x≤3, x² ≤4y}.

Repr´esenterD, puis calculer l’aire de D.

Exercice 2 : Int´egrales doubles.

On veut calculer l’int´egraleI =R

D xydxdy avec :

D={(x, y)∈R², x≥0, y≥0, 1≤x²+y²≤4}.

(a) On consid`ere les domaines

D1={(x, y)∈R², 0≤x≤1, y≥0, 1≤x²+y² ≤4}, D₂={(x, y)∈R², 1≤x≤2, y≥0, x²+y² ≤4}.

Calculer I₁ =R

D1 xydxdy, puisI₂ =R

D2 xydxdy. En d´eduire la valeur de I. (b) Recalculer I en utilisant les coordonn´ees polaires..

Exercice 3 : Volume.

Calculer le volume du solide S, avec S={(x, y, z)∈R³, x≥0, y≥0, 4z²≤x²+y²≤4}.

Exercice 4 : Comparaison d’int´egrales.

On consid`ere la fonction

f(x, y) =e ^{1+x+y+e−sin(xy)}

sur le domaine D={(x, y)∈R², 0≤x≤1, 0≤y−x≤ ¹₂}.

(a) Donner le signe de sin(xy) pour (x, y)∈Det montrer que pour (x, y)∈Don a e^1+x+y ≤f(x, y)≤e^2+x+y

(b) En d´eduire un encadrement de R

Df(x, y)dxdy.

Exercice 5 : Equations diff´erentielles.

R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes (on donnera d’abord la solution g´en´erale de l’´equation lin´eaire homog`ene associ´ee) :

(a) y⁰⁰(x) +y⁰(x)−2y(x) =e^−x (b) y⁰⁰(x)−6y⁰(x) + 9y(x) =xe^3x

(c) y⁰⁰(x) + 2y⁰(x) + 4y(x) = 13 sinx (on pourra chercher une solution particuli`ere de la forme Acosx+Bsinx)

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