TS 8 Interrogation 3A : Correction 29 septembre 2015 Exercice 1 :
1. D´eterminer les limites en 2 de la fonctionf(x) = x−3 4−x2 : 2. En donner une interpr´etation graphique.
Solution:
1. lim
x→2(3x+ 5) = 0 et lim
x→2(4−x2) = 0.
Lorsque x >2, 4−x2<0, donc lim x→2
x >2
f(x) =−∞
Sinon, lim x→2
x >2
f(x) = +∞
2. On conclut que la droite d’´equationx= 2 est une asymptote verticale `a la courbe repr´esentantf.
Exercice 2 :
1. D´eterminer la limite en +∞deh(x) = x2−cos(x) x2−4 2. En donner une interpr´etation graphique.
Solution:
1. Pour tout r´eelx >2 −1<cos(x)<1 donc x2−1 < x2−cos(x)< x2+ 1 et x2−1
x2−4 < x2−cos(x)
x2−4 < x2+ 1 x2−4 (carx2−4>0)
Pour toutx >2, x2−1
x2−4 =1−x12
1 + x42
et par quotient lim
x→+∞
1−x12
1 + x42
= 1. De mˆeme lim
x→+∞
x2+ 1 x2−4 = 1.
Par le th´eor`eme des gendarmes, on en d´eduit que lim
x→+∞h(x) = 1
2. On en d´eduit que la droite d’´equationy= 1 est un asymptote horizontale.
Exercice 3 :
D´eterminer la limite en−∞deg(x) =√ 2x2+ 3
Solution: lim
x→−∞2x2+ 3 = +∞et lim
x→+∞
√x= +∞donc lim
x→−∞
√2x2+ 3 = +∞
Exercice 4 :
Soitf la fonction d´efinie sur [0; +∞[ parf(x) =x3−3x2+ 2.
Montrer que l’´equationf(x) = 3 admet une unique solution sur [0; +∞[
Solution: f est d´erivable comme fonction polynˆome. f0(x) = 3x2−6x. f0(x) = 0 admet 2 solutions 0 et 2. Le coefficient dominant est positif doncf est strictement d´ecroissante sur [0; 2] et strictement croissante sur [2; +∞[.
f est continue et strictement d´ecroissante sur [0; 2] etf(0) = 2 donc le maximum est 2. f(x) = 3 n’admet donc pas de solution sur [0; 2].
f est continue, strictement croissante sur [2∞] de plus f(2) = −2 et lim
x→+∞f(x) = +∞ donc par le corollaire du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, l’´equationf(x) = 3 admet une unique solution sur [2; +∞[
