xy(x2−y2) x2+y2 si (x, y si(x, y

Département de Mathématiques

Faculté des Sciences de Rabat Printemps

SMPC2 : Analyse Série d'exercices 4

Exercice 1 :

Etudier l'existence et la valeur éventuelle d'une limite pour les fonctions suivantes :

(x,y)→(2,0)lim

xy−2y

x²+y²−4x+ 4; lim

(x,y)→(0,0)

x²sin²(y)

x²+ 3y² ; lim

(x,y,z)→(0,0,0)

xy+yz²+xz² x²+y²+z⁴ .

Exercice 2 : Soit f(x, y) =











xy(x²−y²)

x²+y² si (x, y)6= (0,0), 0si(x, y) = (0,0).

Montrer que f est au moins de classeC¹ surR².

Exercice 3 :

a. Calculer la dérivée de f(x, y) =x²−y² en(1,2)selon la direction v= (3,5). b. Soit f(x, y) =











xy

px²+y² si(x, y)6= (0,0), 0 si(x, y) = (0,0).

1. f est-elle continue sur R².

2. Calculer les dérivées partielles de f si elles existent, pour(x, y)6= (0,0)et(x, y) = (0,0). 3. f est-elle diérentiable aux points(x, y)6= (0,0)et(x, y) = (0,0).

Exercice 4 :

Déterminer les extremums des fonctions dénies ci-après : 1. f(x, y) =x³+ 3xy²−15x−12y.

2. f(x, y) =x²+ 4y²+ 2x−4y. 3. f(x, y) =y²+xyln(x).

Exercice 5 : (Facultatif)

Considérons les deux fonctions suivantes : f :R³ →R²

(x, y, z)→(x+y², xy²z) ; g:R²→R³

(x, y)→(x²+y, xy, e^y) 1. Donner la matrice jacobienne def etg. 2. Donner la matrice jacobienne degof.