Généricité de la propriété de Morse-Smale

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Généricité de la propriété de Morse-Smale

Romain Joly

sous la direction de Genevi`eve Raugel April 7, 2006

1 Introduction

Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux problèmes de transversalité de l’intersection des variétés stables et instables de points d’équilibres hyperboliques de systèmes dynamiques locaux de type gradient, engendrés par des équations d’évolution. On rappelle qu’un système dynamique continu local est de type gradient s’il admet une fonctionnelle de Lyapounov (dans ce cas, s’il est non-vide, l’ensembleω-limite de tout point est contenu dans l’ensemble des points d’équilibre). Un système dynamique de type gradient est dit de Morse-Smale si les points d’équilibre sont en nombre fini et sont tous hyperboliques, et si les variétés stables et instables de deux points d’équilibre s’intersectent toujours transversalement (c’est-à-dire qu’en tout point d’intersection, la somme des espaces tangents des deux variétés est égale à l’espace entier). En particulier, si V est un champ de vecteurs “gradients” sur une variété compacte M de dimension finie n, on dit que V est un champ de vecteurs gradients de Morse-Smale si le flot défini par ce champ de vecteurs est un système dynamique de Morse-Smale de type gradient. L’intérêt de l’étude de ces propriétés de transversalité a son origine dans l’étude de la stabilité des flots définis par des champs de vecteurs sur des variétés compactes et remonte aux théorèmes de stabilité dus à Palis et Smale dans les années 1970-1975. En effet, les théorèmes de stabilité de Palis et Smale disent qu’un champ de vecteurs gradients V0 qui vérifie la propriété de Morse-Smale est structurellement stable, c’est-à-dire que tout champ de vecteurs gradients V assez voisin de V0 est topologiquement équivalent au champ de vecteurs V0 (lire [13]). Outre son intérêt théorique, la stabilité a des applications pratiques : en anal- yse numérique, les trajectoires calculées ne sont qu’une approximation des trajectoires réelles. La propriété de stabilité nous permet d’affirmer que le calcul donne un résultat qualitativement correct.

Le théorème de Kupka-Smale (voir [13]) nous dit que l’ensemble des champs de vecteurs gradients réguliers de Morse-Smale, sur une variété compacte de dimension finien, est un ensemble générique dans l’espace des champs de vecteurs gradients réguliers.

Les équations aux dérivées partielles d’évolution fournissent des exemples de systèmes dynamiques (locaux) de dimension infinie. Il est donc naturel d’essayer de généraliser les théorèmes de stabilité de Palis et Smale ainsi que le théorème de généricité de Kupka- Smale. Ces propriétés ne passent pas parfaitement à la dimension infinie. Par exemple, la

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stabilité structurelle n’est, en général, conservée que sur un ensemble compact maximal A de trajectoires ( dans ce mémoire, cet ensemble A est en fait composé des trajectoires bornées pour tout temps t ∈ R)). Dans le cas de systèmes dissipatifs, ce compact A co¨ıncide avec l’attracteur global compact, on peut citer la généralisation suivante du théorème de Palis-Smale, dû à Oliva. Si un système gradient dissipatif de dimension infinie est tel que tous ses points d’équilibre sont hyperboliques et que toutes les variétés stables et instables de ces équilibres s’intersectent transversalement, alors le semi-flot restreint à l’attracteur compact est structurellement stable (voir [6]).

La généralisation du théorème de Kupka-Smale aux systèmes dynamiques (et aussi aux systèmes dynamiques locaux) engendrés par des équations aux dérivées partielles est un problème encore largement ouvert. Une difficulté, parmi d’autres, est la latitude dans le choix du paramètre de généricité. Peu de résultats de transversalité sont connus, si ce n’est pour le système dynamique local de type gradient engendré par l’équation de réaction-diffusion

ut= ∆u+f(x, u) ,

posée sur un ouvert borné régulier Ω de R^N avec, par exemple, la condition de Dirichlet homogène au bord u = 0 sur ∂Ω. Tout d’abord, un théorème remarquable ([9] et [1]), démontré par D. Henry en 1985, dit que les variétés stables et instables de deux points d’équilibre hyperboliques quelconques s’intersectent toujours transversalement, dans le cas de la dimension N = 1. Malheureusement, ce résultat de transversalité n’est plus vrai en dimension supérieure (voir [15] pour un contre-exemple) et n’est remplacé que par une propriété générique de transversalité.

Le résultat dû à Brunovský et Poláˇcik qui occupera la majeure partie de ce mémoire dit qu’il existe un ensemble générique de fonctions f(x, u) telles que tous les points d’équilibre de u_t = ∆u+f(x, u) sont hyperboliques et que leurs variétés stables et instables s’intersectent transversalement (voir [3]). Il est intéressant de remarquer que la dépendance en x est nécessaire : on n’a plus la généricité pour des fonctions f(u) qui ne dépendent que de u (voir [16] pour un contre-exemple).

Toutefois, le choix de f comme variable n’est pas toujours très pertinent. En effet f est souvent une donnée fixe dans une équation. Aussi, peut-on s’intéresser à ce qui ce passe quand on fait varier le domaine Ω (lire [10] et [19]) ce qui est plus réaliste du point de vue de la physique. Remarquons finalement que la généricité de la propriété de transversalité dans le cas de l’équation des ondes avec dissipation faible est traitée dans [4].

Dans la première partie de ce mémoire, nous rappelons des théorèmes de transversalité de type Sard-Smale qui sont notre outil principal dans la démonstration du théorème de Brunovský et Poláˇcik . Ensuite, nous montrons la généricité enf(x, u) de la propriété de transversalité pour l’équation de réaction-diffusion ci-dessus. Enfin, nous démontrons la généricité de la propriété d’hyperbolicité par rapport au domaine Ω.

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2 Th´ eor` emes de transversalit´ e

2.1 Rappels sur les espaces de Baire

On appelle espace de Baire un espace tel que toute intersection dénombrable d’ouverts denses est encore dense. Le théorème de Baire dit qu’un espace métrique complet est un espace de Baire, mais il existe des espaces de Baire qui ne peuvent être rendus complets par un changement de métrique équivalente. On appelleGδ une intersection dénombrable d’ouverts denses, les Gδ correspondent à l’idée de “presque partout” pour un espace de Baire (à relier au “presque partout” des mesures dansRⁿ). En particulier, on note qu’une intersection dénombrable de G_δ est encore un G_δ. Un ensemble est dit générique ou résiduel s’il contient un G_δ. Une propriété qui est vraie pour toutx dans un G_δ est dite générique, on dit aussi qu’elle est vérifiée génériquement en x ou pour un x générique.

2.2 Un th´eor`eme de Sard en dimension infinie

Soient M etV deux variétés de Banach différentiables connexes et séparables.

Définition 2.2.1 Soit f : M −→ V, une fonction de classe C¹. Un point x ∈ M est dit point régulier de f si Df(x) : Tx(M) −→ Tf(x)(V) est surjective et est appelé point singulier sinon. L’image d’un point singulier est une valeur singulière (ou critique), sinon c’est une valeur régulière ( en particulier, y ∈ V est une valeur régulière si y n’est pas dans l’image).

On rappelle le th´eor`eme de Sard :

Th´eor`eme 2.2.1 Si U est un ouvert de R^p et f : U −→ R^q est de classe C^s avec s >

max(p−q,0), alors l’ensemble des valeurs critiques de f dans R^q est de mesure nulle.

D´emonstration : On trouvera la d´emonstration dans [18].

L’idée est de donner une version de ce théorème en dimension infinie pour les applications de Fredholm. En effet, de part la méthode de Lyapounov-Schmidt, les opérateurs de Fredholm sont les bons opérateurs si on veut faire passer des propriétés de dimension finie

`a la dimension infinie.

Définition 2.2.2 Soient X et Y deux espaces de Banach. Une application linéaire continue L de X dans Y est un opérateur de Fredholm si Im(L) est fermée, dim(Ker L) et codim(Im L) sont finies. Son indice est défini par : Ind(L) = dim(Ker L) − codim(Im L).

Propriété 2.2.1 Les opérateurs de Fredholm forment un ouvert de l’ensemble des opérateurs linéaires continus et de plus l’indice est une fonction continue. Enfin, la somme d’un opérateur de Fredholm et d’un opérateur compact est un opérateur de Fredholm de même indice.

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Démonstration : Pour les propriétés des opérateurs de Fredholm, on pourra lire [2] ou

[20].

D´efinition 2.2.3 Une application de Fredholm est une fonctionf de classeC¹ deM dans V telle que pour tout x∈M, Df(x) :Tx(M)−→Tf(x)(V) est un op´erateur de Fredholm.

L’indice def est défini comme étant l’indice de Df(x)(par connexité et la propriété 2.2.1, l’indice ne dépend pas de x).

Définition 2.2.4 Soient X1 et X2 deux espaces métriques. Une fonction f de X1 dans X2 est dite propre si l’inverse d’un compact est un compact ( c’est-à-dire si(f(xi))i∈N est une suite convergente, on peut extraire de la suite (xi) une sous-suite convergente) Lemme 2.2.1 Une application de Fredholm est localement propre : ∀x∈M,∃N voisinage de x tel que f_|N est propre.

Démonstration : Soit x0 un point de M et L = Df(x0). Comme L est un opérateur de Fredholm, on peut décomposer les espaces tangents par Tx0M = E1 ⊕ Ker L et Tf(x0)V =E₁^′ ⊕Im L, avec Ker L et E₁^′ de dimension finie. Comme Df(x0) est un isomorphisme deE1 surIm L, le théorème d’inversion locale donne qu’il existe un voisinage D₁ ×D₂ de x₀ = (p₀, q₀) dans E₁ ⊕Ker L tel que pour tout q ∈ D₂, f_|D₁_×D₂ est un C¹-difféomorphisme sur son image. On notera que D₂ peut être choisi compact car dans un espace de dimension finie.

On pose N(x) = D1 ×D2. Si f(xi) = yi tend vers y, il faut montrer qu’il existe une sous-suite x_φ(i) convergeant vers x. On pose xi = (pi;qi), D2 est compact donc en ex- trayant qi −→ q, puis quitte à restreindre le voisinage, on peut supposer que Df est bornée et doncf(pi, q) = [f(pi, q)−f(pi, qi)] +f(pi, qi) tend versy. Commef|D1×q est un homéomorphisme, pi = (f_|D⁻¹₁_×q(f(pi, q)) converge.

Nous pouvons montrer maintenant le théorème d à Smale ([21]):

Théorème 2.2.2 Si f : M −→ V est une application de Fredholm de classe C^k avec k > max(Ind(f),0), alors l’ensemble des valeurs régulières de f est générique dans V. Démonstration : les variétés étant séparables, on peut se contenter de montrer le résultat dans le cas où f : U −→ E^′ avec U ouvert de E espace de Banach tangent à M et E^′ l’espace tangent à V. En effet, les variétés sont localement identiques à leur espace tangent et si R(U) est l’ensemble des valeurs régulières de f : U −→ V qui est générique dans V, alors si (Ui) est un recouvrement deM (M est séparable),∩iR(Ui) est un ensemble générique et est exactement l’ensemble des valeurs régulières.

Soit x0 ∈M, et un voisinageN(x) =D1×D2 ⊂E1×kerLdéfini comme précédemment.

L’ensemble des points critiques de f est ferm´e, donc si yi valeurs critiques de f|N et yi −→y, par le lemme,f⁻¹(yi)−→f⁻¹(y) qui est un point critique, doncyest une valeur critique et l’ensemble des valeurs critiques de f|N(x) est un ferm´e.

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Reste donc à trouver une valeur régulière dans U^′ voisinage def(x0) dans E^′.

E^′peut être décomposé enE^′ =E₁^′⊕Im Let on a vu quef|D1×qest unC¹-difféomorphisme sur son image. Quitte à faire un changement de variable, on peut donc supposer que f est de la forme

f :

D1×D2 −→ Im L×E₁^′ (p, q) 7−→ (p, g(p, q))

g_|p₀_×D₂ est une fonctionC^kdeD2 dansE₁^′, on peut donc lui appliquer le théorème de Sard, ce qui donne une valeur régulièrez₁^′ dans la projection deU^′ surE₁^′. Soitz = (p0, z₁^′)∈U^′ et (p0, q) un antécédent dez par f. Alors Df(p0, q) =Dpf(p0, q) +Dqg(p0, q) est surjective car Dpf(p0, q) est surjective sur Im Lcar c’est un isomorphisme de E1 sur Im L, et Dqg(p0, q) est surjective sur E₁^′ car z₁^′ est une valeur régulière de g :p0×D2 −→E₁^′. On

a donc que z ∈U^′ est la valeur régulière cherchée.

2.3 Les théorèmes de transversalité

Le théorème suivant, dit de Sard-Smale, et ses variantes sont des conséquences du théorème de Smale. Appliqués à une fonctionnelle Φ judicieusement choisie, ils donnent les résultats de généricité sur les EDPs que nous verrons par la suite.

Th´eor`eme 2.3.1 Soient X, Y, Z trois espace de Banach, U ⊂ X, V ⊂ Y deux ouverts, Φ :U×V −→Z une application de classe C^k (k ≥1) et z un point de Z.

On suppose que :

i) ∀(x;y) ∈ Φ⁻¹(z), DxΦ(x;y) est un op´erateur de Fredholm d’indice strictement plus petit que k,

ii) ∀(x;y)∈Φ⁻¹(z), DΦ(x;y) est surjective,

iii) X et Y sont deux espaces m´etriques s´eparables.

Alors Θ ={y∈V /z est une valeur régulière de Φ(.;y)} est une intersection dénombrable d’ouverts denses de V.

Démonstration : L’idée est de montrer que Φ⁻¹(z) est une variété et que si i est l’injection canonique de cette variété dansX×Y etπY la projection surY, alorsInd(πY◦ i) =Ind(DxΦ) etz est une valeur régulière de Φ(., y0) si et seulement siy0 est une valeur régulière de πY ◦i. Il ne restera alors qu’à appliquer le théorème de Smale.

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Y

(x,y) x,y)

X π (Y

Φ M= (z)⁻¹

• ∀(x0;y0)∈Φ⁻¹(z), Ker DΦ(x0;y0) a un suppl´ementaire ferm´e et : X×Y = (X2× {0})⊕Ker DΦ(x0;y0)⊕Θ,

o`u Θ est isomorphe au conoyau de D_xΦ(x₀;y₀) et X₂ est la coimage de DxΦ(x0;y0) dans Z.

Si cela est vrai, le noyau de DΦ admettra un supplémentaire fermé, ce qui montrera ajouté à la surjectivité deDΦ que Φ⁻¹(z) est une sous-variété deU×V de classeC^k. Dans la suite, nous omettrons l’argument (x0;y0) des différentielles.

Montrons notre assertion : comme DxΦ est un opérateur de Fredholm, si X1 est son noyau et Z1 son image, on a les décompositions : X =X1⊕X2 etZ =Z1⊕Z2, avec X1 etZ2 de dimension finie. (DΦ)⁻¹Z2 est la somme directe de Ker DΦ et de Θ de dimension finie, isomorphe à Z2.

Montrons que (X2× {0})∩(Ker DΦ(x0;y0)⊕Θ) ={0} : si (x; 0)∈ (X2× {0})∩ (Ker DΦ(x0;y0)⊕Θ) alorsDΦ.(x,0) =DxΦ.x∈Z2. Par d´efinition de Z2 etX2, on a x= 0.

Enfin, si (x;y)∈X×Y, on définit σ ∈X₂ par σ=DxΦ⁻¹[π1.DΦ.(x, y)] oùπi est le projecteur sur Z_i et D_xΦ l’isomorphisme égal à D_xΦ de X₂ sur Z₁. On a bien que ρ= (x, y)−(σ,0)∈(Ker DΦ⊕Θ) car : DΦ.ρ= (Id−π1)DΦ.(x, y) =π2DΦ.(x, y)∈ Z₂, d’où (x, y)∈(X₂× {0})⊕Ker DΦ(x₀;y₀)⊕Θ

•πY ◦i est un op´erateur de Fredholm d’indice Ind(DxΦ)

On peut juste considérer le cas où Φ⁻¹(z) est non vide et y0 dans la projection de Φ⁻¹(z) surY. On a queD(πY◦i) =πY ◦(Di), d’oùy∈ Im(D(πY◦i)) si et seulement si ∃x ∈ X tel que DxΦ.x+DyΦ.y = 0 et x peut être choisit d’une manière unique dans X2 : DxΦ.x=−DyΦ.y ∈Z1.

Comparaison des conoyaux

T_(x₀_;y₀₎Φ⁻¹(z)−→^Di X×Y −→^π^Y Y

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Si Y =Im(πY ◦Di)⊕E alors X×Y = (Im(Di) + (X× {0}))⊕({0} ×E). D’o`u : Y /Im(πY ◦Di)≃(X×Y)/(Im(Di) + (X× {0}))

et d = dim Coker(D(πY ◦ i)) = dim (X × Y)/(Im(Di) + (X × {0})). Mais Im Di= (DΦ)⁻¹(0) =Ker DΦ etd= (X×Y)/(Ker(DΦ)⊕(X2×{0}))) =dim Z2. D’o`udim Coker(D(π_Y ◦i)) =dim Coker(D_xΦ).

comparaison des noyaux :

Ker(D(π_Y ◦i)) = (Di)⁻¹(X× {0}) = (Ker D_xΦ)× {0} et on a bien l’´egalit´e des noyaux.

•y₀ valeur régulière de π_Y ◦i si et seulement si z valeur régulière de Φ(., y₀) C’est clair par comparaison des conoyaux et caravaleur régulière def si et seulement si ∀x∈f⁻¹(a),Df(x) est surjective (soit la dimension du conoyau est nulle).

En adaptant simplement la démonstration du théorème de Smale, on trouve la variante suivante :

Théorème 2.3.2 Si dans le théorème précédent, l’hypothèse iii) est remplacée par : iv) Φ est propre dans le sens où l’ensemble des x tel que Φ(x, y) = z avec y dans un compact de Y est relativement compact dans U.

Alors θ ={y∈V /z est une valeur r´eguli`ere de Φ(.;y)} est un ouvert dense de V.

De plus, si Φ est σ-propre, c’est-à-dire qu’il existe un nombre dénombrable d’ensembles qui recouvrent Φ⁻¹(z) tels que Φ est propre sur chacun de ces ensembles, alors θ est un ensemble générique.

Voici une version qui contient de plus un critère de surjectivité pour DΦ qui utilise la dualité :

Théorème 2.3.3 Si les hypothèses i) et iv) des théorèmes précédents sont vérifiées et si pour tout (x0;y0)∈U×V tel que Φ(x0;y0) =z on a :

v)w∈Ker(DxΦ(x0;y0))^∗ et ∀y∈Y < DyΦ(x0;y0).y|w >⇒w= 0

Alors ii) est vérifiée et pour tout y0, θ = {x ∈ U/z est une valeur régulière de Φ(.;y0)}

est une union finie disjointe de sous variétés compactes et connexes de X de classe C^k et de dimension égale à l’indice de DxΦ.

De plus, si l’indice de D_xΦ est nul, alors θ est un ensemble fini de points, le nombre d’´el´ements est constant sur chaque composante connexe et les solutions sont des fonctions de classe C^k de y₀.

D´emonstration : On trouvera la d´emonstration dans [19].

Enfin, on a un théorème plus fort si l’indice de DxΦ est négatif :

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Th´eor`eme 2.3.4 Soient X, Y, Z trois espace de Banach, U ⊂ X, V ⊂ Y deux ouverts, Φ :U×V −→Z une application de classe C^k (k ≥1) et z un point de Z.

On suppose que :

i’) ∀(x;y) ∈ Φ⁻¹(z), D_xΦ(x;y) est un op´erateur de Fredholm de classe C¹ et d’indice strictement n´egatif,

ii) ∀(x;y)∈Φ⁻¹(z), DΦ(x;y) est surjective,

iii) X et Y sont deux espaces m´etriques s´eparables.

Alors, Ξ = {y ∈ Y /z n’est pas dans l’image de Φ(., y)} est un ensemble g´en´erique dans Y.

Démonstration : La démonstration est exactement la même que celle du théorème 2.3.1, sauf qu’au lieu d’appliquer le théorème de Smale, on applique le théorème suivant.

On reprend les notations du théorème de Smale, si f : M −→ V est une application de Fredholm de classeC^k (k ≥1) et d’indice strictement négatif, alors le complémentaire de l’image de f est générique dans V (on dit aussi que Im f est un ensemble maigre).

Ce théorème se montre exactement comme celui de Smale, grâce à la méthode de Lyapounov- Schmidt, en utilisant le fait qu’une fonction de classe C¹ deR^p dans R^q avec p < q a une

image de mesure nulle.

2.4 Premier exemple d’application : On s’intéresse à l’équation :

∆v+f(x, v) = 0 sur Ω

v =h sur ∂Ω (1)

où Ω⊂R^N et la fonctionf de Ω×R dansR sont suffisamment réguliers et oùh∈H²(Ω) donné.

Le but de cet exemple est de montrer que les équilibres de (1) sont hyperboliques pour un ensemble générique de condition au bord h.

On introduit les espaces : X =H²(Ω)∩H¹0(Ω),Y =H²(Ω) etZ =L²(Ω) et la fonctionnelle :

Φ(u;h) = ∆(u+h) +f(x, u+h).

Il est clair que (1) équivaut à u ∈ X et Φ(u, h) = 0 en posant v = u+h. Vérifions les hypothèses du théorème 2.3.1 et le critère de surjectivité du théorème 2.3.3 :

iii) Les espaces sont clairement s´eparables.

i)∀(u;h)∈Φ⁻¹({0}), DuΦ.v = ∆v+f_u^′(x, u+h).v est un opérateur de Fredholm d’indice 0 car somme du laplacien (qui est bijectif) et d’un opérateur compact (en effet, u+h et ses dérivées sont dans L^∞ par régularité, donc f_u^′(x, u+h).v est dans H² ∩H¹0 et est bornée par CkvkH2∩H¹

0).

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v) w ∈Ker(DuΦ)^∗ ´equivaut `a w ∈X et ∆w+f_u^′(x, u+h).w = 0. La formule de Green donne :

< DhΦ.g|w > = <∆g+f_u^′.g|w >

= −

Z

∂Ω

g.∂w

∂ν

Supposons que cette intégrale est nulle pour toutg, il est alors facile de trouver une suite gn qui tend dans L²(∂Ω) vers ^∂w_∂ν (en effet, g_|∂Ω est dans H^3/2(∂Ω) qui est dense dans H^1/2(∂Ω) où se trouve ^∂w_∂ν ). D’où, à la limite, R

∂Ω(^∂w_∂ν)² = 0 et ^∂w_∂ν = 0 sur ∂Ω. Ce qui donne w= 0 par le th´eor`eme suivant.

Théorème 2.4.1 SoitΩun ouvert régulier deRⁿet hune fonctionL^∞. Si uest solution dans H²(Ω)∩H¹0(Ω) de ∆u+h(x).u = 0 avec u = ^∂u_∂ν = 0 sur le bord de Ω, alors u est identiquement nulle sur Ω.

Démonstration : Si l’on est en dimension 1, le théorème provient directement de la propriété de Cauchy-Lipschitz. Sinon, on voit que l’on peut prolonger u par 0 dans un carré ]x₁, y₁[×Q contenant Ω en gardant u dans H² ∩ H¹0. Quitte à prolonger f par 0, u vérifie toujours la même équation. On particularise la première coordonnée que l’on considère comme un temps. On est ramené à la propriété de Cauchy-Lipschitz sur l’équation ∂_t²u+ ∆u+h(t, x).u= 0, ce qui permet de conclure.

u+f(x)u=0

u=0

∆

Ω Q

]x ,y [₁

temps

donnee initiale

1

’

La conclusion est que pour un hgénérique,DuΦ(u, h) = ∆ +f_u^′(x, u+h) est surjective, c’est-à-dire bijective (car d’indice nul). Pour presque tout h, les équilibres de (1) sont hyperboliques, et pour peu que l’on sache les borner dansH²∩H¹0, ils sont en nombre fini.

Remarque : En fait, si on sait borner les équilibres, alors iv) est vérifiée (voir les applications suivantes) et les équilibres dépendent de fa¸con C¹ de h.

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3 G´ en´ ericit´ e par rapport ` a f de la propri´ et´ e de Morse-Smale pour une ´ equation parabolique.

Soient Ω⊂R^N, N = 2,3 un domaine suffisamment r´egulier, et f ∈ C^k(Ω×R;R) (k ≥2).

On poseX =L²(Ω), on rappelle que−∆ est un opérateur sectoriel, et queX^α=D(−∆^α) (α∈[0,1[).On considère l’équation :

ut= ∆u+f(x, u) sur Ω

u_|∂Ω= 0 ; u(t= 0;.) =u₀ ∈X^α (2) On notera que cette ´equation admet des solutions locales, a une structure gradient et que X^{α cont.}֒→ C⁰(Ω) pour α∈]3/4,1[. Dans la suite, α sera toujours suppos´e dans cet intervale.

On dit que deux variétés sont transverses si en tout point d’intersection, la somme des espaces tangents est tout l’espace. On notera qu’en particulier, deux variétés disjointes sont transverses.

Notre but est de montrer que génériquement enf, (2) vérifie la propriété de Morse-Smale c’est-à-dire que tous les équilibres sont hyperboliques et que les variétés stables et instables s’intersectent transversalement. Pour la définition des objects utilisés ici, on pourra se reporter à [7]. Nous considérons l’espaceGdes fonctionsC^k(Ω×R;R) muni de la topologie de Whitney engendrée par les ouverts

{g ∈G/|Dⁱf(x, y)−Dⁱg(x, y)|< δ(y);i= 0..k, x∈Ω, y ∈R}

o`uδ est une fonction continue surR, strictement positive. Gest un espace de Baire. Dans toute la suite, sauf mention contraire,f sera une fonction deG.

Remarque : PourN = 1, si (2) a des points d’équilibres hyperboliques, la transversalité est automatiquement vérifiée (cf [9] et [1]). On sait que cette propriété n’est vraie qu’en dimension 1. Pour N ≥ 4, on remplacera par exemple l’espaceX^α (α∈]³₄; 1[) par l’espace W₀^1;p(Ω) avec passez grand pour que W₀^1;p(Ω) s’injecte continuement dans L^∞(Ω).

Cette partie sera consacrée à démontrer le résultat suivant d à Brunovský et Poláˇcik (1997) :

Théorème 3.0.2 Il existe un ensemble générique G^{M S} de fonctions de G tel que pour f ∈G^{M S}, tous les équilibres de l’équation (2) soient hyperboliques et les variétés stables et instables s’intersectent transversalement.

Remarque : Nous démontrerons au passage que pour f dans G^{M S}, les valeurs propres de (2) sont simples et ont deux à deux un rapport irrationnel. Ces propriétés ne font pas parties de Morse-Smale à proprement parlé, mais elle nous seront utiles dans la démonstration de la transversalité.

Il nous faut une caractérisation de l’image des opérateurs de Fredholm du type ∆ +g : Proposition 3.0.1 Soit L de X dans Y un opérateur de Fredholm auto-adjoint d’indice 0, h est dans l’image de L si et seulement si h est orthogonal au noyau de L.

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Démonstration : si h est dans l’image, il est clair que h est perpendiculaire au noyau deL. La proposition découle alors des propriétés des dimensions.

Remarque : En fait, ce théorème reste vrai si L n’est pas auto-adjoint en rempla¸cant le noyau de L par celui de L^∗. Cela vient du fait que l’on peut prouver que L^∗ est un opérateur de Fredholm de même indice que L.

Et voici enfin un th´eor`eme de prolongement unique fort :

Théorème 3.0.3 Soient Ω un domaine régulier borné de R^N et f ∈L^∞, l’équation ∆u(x) +f(x)u(x) = 0 sur Ω

u= 0 sur ∂Ω

vérifie la propriété de prolongement unique fort : si u a un zéro d’ordre infini sur Ωalors u est identiquement nulle.

Démonstration : Pour avoir des informations sur la propriété de prolongement fort, on se reportera à [11]. Pour une démonstration d’un théorème plus faible mais qui suffit

pour la suite, on regardera [12]

3.1 Généricité de l’hyperbolicité des points d’équilibre

Un ´equilibre u est hyperbolique s’il n’existe pas de fonction v non nulle telle que

∆v +f_u^′(x, u).v = 0. Soit G^H

n l’ensemble des fonctions de G telles que tout ´equilibre u avec kuk∞ ≤n est hyperbolique (on rappelle que X^α s’injecte continument dans L^∞).

Il nous suffit de montrer que G^H

n est un ouvert dense.

•G^H

n est un ouvert

Soit une suite (fk) dans G \G^H

n qui converge vers f. En particulier, fk et ∂ufk

convergent uniform´ement sur Ω ×[−n;n] vers f et ∂uf. fk ∈ G\G^H

n équivaut à l’existence de uk etvk dans H²∩H¹0 avec kukk∞ ≤n et kvkk2 = 1 qui vérifient

∆uk+fk(x, uk) = 0 sur Ω

uk = 0 sur ∂Ω,

∆vk+∂ufk(x, uk).vk= 0 sur Ω

vk = 0 sur ∂Ω.

la suite (uk) est bornée dans H² par théorème de régularité car bornée dans L^∞. On peut donc en extraire une sous-suite qui converge dans X^α (car H²(Ω)∩H¹0(Ω) s’injecte de fa¸con compacte dans X^α) et donc dans C⁰. La sous-suite fk(x, uk) converge dans L², puis en prenant l’inverse du laplacien, uk converge dansH²∩H¹0 vers

(12)

uvérifiant kuk∞≤net ∆u+f(x, u) = 0. De même pourvkqui converge versv dans H² ∩H¹0 vérifiant kvk2 = 1 et ∆v+∂uf(x, u).v = 0. On en déduit que f ∈G\G^H

n

et donc que G^H_n est un ouvert.

•G^H

n est dense

Soit f ∈G, on va montrer qu’il existe une fonction deG^H

n aussi proche que l’on veut de f. Pour cela, prenons une fonctionη :R→R `a support compact et valant 1 sur [−n−1;n+ 1]. Nous allons voir qu’il existe un ensemble dense de fonctions b dans C^k(Ω) telles que f(x, u) +b(x)η(u) ∈G^H

n. Le résultat de densité est alors clair. En effet, si on prend un voisinage de f du type{g ∈G/|Dⁱf(x, u)−Dⁱg(x, u)|< δ(u)}, par compacité, δ admet un minimum strictement positif sur le support de η. Pour b assez petit, b(x)η(u) sera plus petit que δ, et donc f +bη sera dans le voisinage choisi.

Remarque : Nous sommes obligés de procéder ainsi car G n’est pas séparable, et quand bk →0 dansC^s, on n’a pas f(x, u) +bk(x)η(u)→ f dans G.

Appliquons le théorème de transversalité 2.3.1, on choisit

X ={u∈H²∩H¹0/kuk_∞< n+ 1},Y =C^s(Ω) et Z =L²(Ω), Φ(u, b) = ∆u+f(x, u) +b(x)η(u).

On remarque que sur X×Y, Φ(u, b) = ∆u+f(x, u) +b(x).

iii) Les espaces sont s´eparables.

i) ∀(u;h) ∈ Φ⁻¹({0}), DuΦ.v = ∆v +f_u^′(x, u).v qui est un op´erateur de Fredholm d’indice 0 car somme du laplacien et d’un compact.

ii) Reste à montrer queDΦ surjectif, c’est-à-dire pour touthdansL², trouver (v, c)∈ H² ∩H¹0× C^s tel que DuΦ.v+DbΦ.c = ∆v +f_u^′.v+c=h. Cela revient à trouver c tel que pour toutw dans le noyau de DuΦ, < h−c|w >= 0. Comme le noyau est de dimension finie, c’est possible.

La preuve est donc finie.

3.2 Généricité de la simplicité des valeurs propres et propriété de rapport irrationnel

Soit le probl`eme aux valeurs propres suivant :

−∆v−f_u^′(x, u).v =µ.v sur Ω

v|∂Ω = 0. (3)

Pour pouvoir démontrer la généricité de la transversalité, nous avons besoin de la sim- plicité des valeurs propres, ainsi que la propriété de rapport irrationnel, c’est à dire que deux valeurs propres distinctes d’un même équilibre ont un rapport irrationel. Il nous faut donc démontrer la généricité de ces propriétés avant de poursuivre.

(13)

Simplicit´e des valeurs propres :

La simplicité des valeurs propres nous sera utile car elle entrane que toute trajectoire qui tend vers un équilibre le fait le long d’un vecteur propre et que cette convergence est exponentielle. Nous rappelons aussi que les valeurs propres de ∆ +f_u^′ sont réelles, dénombrables et qu’on peut les classer par µ₁ > µ₂ ≥µ₃ ≥... avec µ_k qui tend vers −∞.

On pose G^S

n,m l’ensemble des fonctions f de G telles que, pour tout ´equilibre u avec kuk∞ ≤ n, toute valeur propre µ avec |µ| ≤ m est simple. Il nous suffit de montrer que G^S

n,m est un ouvert dense car on aura alors que G^S =∩G^S

n,m est un Gδ.

•G^S

n,m est un ouvert

La d´emonstration est exactement la mˆeme que pour G^H

n, en constatant que f n’est pas dans G^S

n,m si et seulement s’il existe u, v1, v2 ∈H²∩H¹0 etµ∈R v´erifiant :

∆u+f(x, u) = 0,

∆vi+f_u^′.vi+µ.vi = 0 et kvik2 = 1, pour i= 1,2

< v₁|v₂ >= 0, kuk_∞≤n, |µ| ≤m.

•G^S

n,m est dense

On va montrer en fait que G^S

n = T

mG^S

n,m est dense. Pour cela, on commence par perturber f et on peut supposer que f est dans G^H

n+1 avec f de classe C^s sur Ω×[−n −1;n+ 1] (s ≥ 3). On choisit deux fonctions à support compact η1 et η2 avec η1(u) = 1 et η2(u) = u sur [−n−1;n+ 1]. On va utiliser le théorème de transversalité pour montrer qu’avec b = (b1, b2) ∈ C^s(Ω)² aussi petit que l’on veut, f +b1η1+b2η2 est dansG^S

n. On pose :

U ={u∈H²∩H¹0/kuk∞< n+ 1} ×(H²∩H¹0 \ {0})×R, V ={b = (b1, b2)∈ C^s(Ω)²/f +b1η1 +b2η2 ∈G^H

n}, Z =L²×L².

Les ensembles ci-dessus sont bien des ouverts d’espaces métriques séparables, et on définit :

Φ(u, v, µ, b)(x) =

∆u(x) +f(x, u(x)) +b1(x) +b2(x)u(x)

∆v(x) + (f_u^′(x, u(x)) +b₂(x) +µ)v(x)

La fonctionnelle Φ est bien de classe C². Il ne reste plus qu’à vérifier les hypothèses du théorème 2.3.1 et à montrer que si 0 est une valeur régulière de Φ(., b), alors les valeurs propres sont simples.

• ∀(u, v, µ, b)∈Φ⁻¹{0}, Du,v,µΦ est un op´erateur de Fredholm d’indice 1

Soit (u, v, µ, b) ∈ Φ⁻¹{0} et L = Du,v,µΦ. L’´el´ement (u, v, µ) est dans le noyau de L si

∆u+ (f_u^′ +b2)u= 0,

(14)

∆v+ (f_u^′ +b2 +µ)v+f_uu^′′ vu+µv = 0.

Par hyperbolicit´e des ´equilibres, on a u = 0 et ∆v + (f_u^′ +b2 +µ)v = −µv.

Comme ∆ + (f_u^′ + b2 + µ) est auto-adjoint et que v est dans son noyau,

< ∆v + (f_u^′ +b₂ + µ)v|v >= 0 = µkvk², d’où µ = 0 (v 6= 0) et v est un vecteur propre pour µ. D’où dim(Ker L) =m où m est la multiplicité deµ.

Passons à l’image : {(g,0)/g ∈L²} est dans l’image de ∆ + (f_u^′ +b₂) caru est hyperbolique; il nous reste à considérer les fonctions h telles qu’il existe v et µ avec

∆v+ (f_u^′ +b2+µ)v =−µv+h.

Il est nécessaire et suffisant quehsoit orthogonal à{w∈Ker(∆+f_u^′+b2+µ)/w⊥ v}(cf propriété 3.0.1). Commev est dans Ker(∆ +f_u^′ +b2+µ), et que ce noyau est exactement l’espace propre associé à µ, hest dans un espace de codimension m−1.

En conclusion, l’indice de Lest 1.

• Si b est tel que 0 est valeur r´eguli`ere de Φ(., b), alors f+b₁η₁ +b₂η₂ appartient

`a G^S

n

On a vu que codim(Im D_(u,v,µ)Φ) = m −1 avec m multiplicité de µ. D’où D(u,v,µ)Φ surjective pour (u, v, µ, b)∈Φ⁻¹{0}équivaut bien à m= 1 c’est-à-dire

`a la simplicit´e de µ.

• DΦ est surjective

Soient (h, g)∈L²×L² et (u, v, µ, b)∈Φ⁻¹{0}, on cherche (u, v, µ, b) tels que

∆u+ (f_u^′ +b2)u+b1+b2u=g

∆v+ (f_u^′ +b2+µ)v+f_uu^′′ vu+µv+b2v =h

On prend µ= 0 et b(x) = (−a(x)u(x), a(x)) avec a à déterminer. On a bien b dans C^s× C^s par théorème de régularité. On est ramené à

∆u+ (f_u^′ +b2)u=g

∆v+ (f_u^′ +b2+µ)v =−f_uu^′′ vu−av+h.

Par hyperbolicité, u peut être choisi sans problème, il reste à choisir a tel que f_uu^′′ vu +av −h soit orthogonal au noyau de ∆ + (f_u^′ +b2 +µ). Il suffit de voir que quand a varie, av décrit un sous-espace vectoriel de dimension infinie.

Mais si les (ai) sont linéairement indépendants, alors les (v.ai) sont linéairement indépendants. En effet, par le théorème de prolongement unique 3.0.3, v 6= 0 sur tout ouvert, donc si Σ(λi.ai.v) = 0 alors (Σλi.ai).v = 0 et Σλi.ai = 0, donc λi = 0.

La surjectivité est démontrée.

(15)

Ce qui conclut la preuve.

Propri´et´e de rapport irrationnel

On va montrer que pour un f g´en´erique, pour deux valeurs propres distinctes λetµd’un

équilibre de (2), le rapport ^λ_µ est irrationnel. On appellera G^SI les fonctions de G^S qui auront cette propriété.

On reprend les notations du paragraphe sur la simplicité des valeurs propres. On va montrer que l’ensemble des (b1, b2) tels que ˆf+b1η1+b2η2 vérifie la propriété du rapport irrationnel est générique dans l’ensemble des (b1, b2) tels quef+b1η1+b2η2est dans G^S. Il nous suffit de montrer la généricité de la propriété suivante : les valeurs propres plus petites que m des équilibres de norme plus petite que n n’ont pas un rapport r donné (en effet, il n’y a qu’un nombre dénombrable de rationnels). SoientU1 ={u∈H²∩H¹0/kuk∞< n}

et U2 =H²∩H¹0\ {0}, on pose :

U = ((U₁×U₂²)\ {(u, v₁, v₂)/v₁ =v₂})×]−m, m[, V ={b = (b1, b2)∈ C³(Ω)²/f +b1η1+b2η2 ∈G^S

n+1,max(m,E(rm))+1}, Z = (L²)⁶.

z = 0

On applique le théorème précédent à la fonctionnelle :

Φ(u, v₁, v₂, µ, b)(x) =







∆u(x) +f(x, u(x)) +b₁(x) +b₂(x)u(x)

∆v₁(x) + (f_u^′(x, u(x)) +b₂(x) +µ)v₁(x)

∆v2(x) + (f_u^′(x, u(x)) +b2(x) +r.µ)v2(x) kv1k²₂−1

kv2k²₂−1





 .

Les seules vérifications à faire sont celles de l’indice deL=D_u,v₁_,v₂_,µΦ et de la surjectivité de

M =Du,v1,v2,µ,bΦ.

L(u, v1, v2, µ) =







∆u+f_u^′u+b2

∆v₁+ (f_u^′ +b₂ +µ)v₁+f^′′_uuv₁u+µv₁

∆v2+ (f_u^′ +b2+rµ)v2+f^′′_uuv2u+rµv1

2< v1|v1 >

2< v2|v2 >





 .

On fait le même raisonnement que dans le paragraphe précédent.

• Le noyau est réduit à{0}car si (u, v1, v2, µ) est dans le noyau, l’hyperbolicité entrane u= 0, puis µ= 0 et la simplicité donne v1 =v2 = 0.

(16)

• On veut L(u, v1, v2, µ) = (g, h1, h2, a1, a2). Par la propriété d’hyperbolicité, on peut atteindre toutes les fonctions g, à condition de fixer u(u devient dépendant deg, et u n’est plus libre par la suite). Quandvi décritH²∩H¹0, ∆vi+ (f_u^′ +b2+rµ)vi décrit l’orthogonal dans L² de vi. De plus, si la composante envi devi varie, ∆vi+ (f_u^′ + b₂ +rµ)v_i ne varie pas. On peut donc atteindre a₁ et a₂ ainsi que la composante orthogonale àv_i desh_i, et cela fixe lesv_i. On voit que l’on peut obtenir la composante suivantv1deh1 à condition de fixerµ, et donc on ne peut avoir la composante suivant v2 deh2. La codimension de l’image deL est donc 1.

En conclusion, l’indice deLest−1. Avant d’appliquer le théorème 2.3.4, il reste à montrer la surjectivité de M.

M(u, v1, v2, µ, b) =







∆u+f_u^′u+b₂+b₁+b₂u

∆v1+ (f_u^′ +b2+µ)v1+f^′′_uuv1u+µv1+b2v1

∆v2+ (f_u^′ +b2+rµ)v2+f^′′_uuv2u+rµv1+b2v2

2< v1|v1 >

2< v2|v2 >





 .

On veut M(u, v1, v2, µ, b) = (g, h1, h2, a1, a2). On peut toujours remarquer que les ai ne posent pas problème. On pose ensuite b1 = −b2u =−a.u où a est une constante réelle.

La première équation est réduite à ∆u+f_u^′u+b2 =g et se résoud par hyperbolicité. Les deux suivantes s’écrivent

(∆ +f_u^′ +b2+µ)v1

(∆ +f_u^′ +b2+rµ)v2

=

h1−f^′′_uuv1u−µv1−a.v1

h₂−f^′′_uuv₂u−r.µv2−a.v2

En faisant varier lesvi, le membre de droite permet d’atteindre toutes les composantes de hi−f^′′_uuviu exceptée celle selon vi. Le choix de a et µpermet d’atteindre cette dernière composante. M est donc surjective. Le théorème 2.3.4 donne alors la généricité de la propriété de rapport irrationnel.

3.3 Transversalité des variétés stables et instables

Si e est un point d’équilibre hyperbolique de (2), on note W^s(e) et Wû(e) les variétés stables et instables de cet équilibre (pour voir la démonstration que les ensembles stable et instable sont des variétés, on regardera [7]), et m(e) son indice de Morse, qui est la dimension de Wû(e). Si u est une trajectoire hétérocline, c’est-à-dire une trajectoire qui relie un équilibre à un autre (la structure gradient implique que ces équilibres sont différents), on note e⁺ et e⁻ les limites de u en +∞ et −∞. Une trajectoire hétérocline est dite transverse siWû(e⁻) et W^s(e⁺) s’intersectent transversalement.

(17)

W (e )

e e

−

− +

+

u s

trajectoire heterocline’ ’

Remarque : la plupart des preuves de ce paragraphe ne sont pas techniquement compl`etes.

Pour trouver des d´emonstrations plus rigoureuses, on lira [3].

Pour commencer, nous avons besoin de caractériser la transversalité sous forme d’une fonctionnelle afin de pouvoir appliquer les théorèmes de transversalité :

Proposition 3.3.1 Soit F ∈ C_b^r(G, X) où G est un ouvert convexe de X^α pour α ∈ [0; 1[ et r ≥ 2 telle que les équilibres de (2) soient hyperboliques, soit u une trajectoire hétérocline, alors si on pose

L:

E =C^1,δ(R, X)∩ C^0,δ(R, X¹) −→ Z =C^0,δ(R, X) v 7−→ vt−∆v−F^′(u).v

On a :

i) l’op´erateur L est un op´erateur de Fredholm d’indice m(e⁻)−m(e⁺)

ii) la trajectoireu est transverse si et seulement si L est surjective

iii) une fonction h ∈ Z est dans l’image de L si et seulement si R+∞

−∞ < h(t)|Ψ(t)> dt= 0 pour toute solutionΨborn´ee sur Rde l’´equation adjointe Ψt+ ∆Ψ +F^′(u)Ψ = 0.

Remarque : Quand nous appliquerons cette proposition, F sera la fonction u 7−→

f(x, u).

Démonstration : On trouvera la démonstration complète dans [3]. L’idée est la suivante

(18)

: soient P⁻ et P⁺ les projections de X sur respectivement Tu(t=0)Wû(e⁻) et sur un supplémentaire dans E de Tu(t=0)W^s(e⁺). On montre que v est dans le noyau de L si et seulement siv(0)∈Im(P⁻)∩Im(Id−P⁺). Puis en considérant l’équation adjointe, on a la propriété adjointe : hest dans l’image deLsi et seulement siR+∞

−∞ < h(t)|Ψ(t)> dt= 0 pour toute solution Ψ born´ee sur R telle que Ψ(0) ∈ Im(Id−P⁻)^∗ ∩Im(P⁺)^∗. Mais Im(Id−P⁻)^∗∩Im(P⁺)^∗ =Im(P⁻)^⊥∩Im(Id−P⁺)^⊥= (Im(P⁻) +Im(Id−P⁺))^⊥, d’o`u Ind(L) =dim(Im(P⁻)∩Im(Id−P⁺))−codim(Im(P⁻)+Im(Id−P⁺)) = dim(Im P⁻)−

dim(Im P⁺).

On noteG^{M S} l’ensemble des fonctionsfdeGtelles que (2) vérifie la propriété de Morse- Smale et G^{M S}_n l’ensemble des fonctions f de G^H_n telles que toute trajectoire hétérocline u vérifiant sup_t∈Rku(., t)k_∞< n est transverse. Une trajectoire hétérocline est forcément bornée dans X^α car elle existe pour toutt ∈R et tend vers e⁻ et e⁺ en −∞ et +∞dans X^α donc est bornée dans L^∞. D’oùG^{M S} =∩G^{M S}

n et pour avoir la généricité de G^{M S}, il suffit d’avoir celle deG^{M S}

n . CommeG^H

n est un ouvert dense, il suffit de montrer que G^{M S}

n

est un ensemble g´en´erique dans G^H

n.

Soit G ={u ∈ X^α/kuk∞ < n} (avec 3/4< α < 1), c’est un ouvert de X^α. Il nous faut comme espace des fonctions f un espace de Banach. Comme les valeurs de f(x, u) avec

|u| ≥ n n’importent pas, on va restreindre f. On note Λ^r = C^r(Ω×[−n, n]), et ˜G^H_n et G˜^{M S}

n les sous-ensembles de Λ^k compos´es des restrictions `a Ω×[−n, n] des fonctions de G^H

n et G^{M S}

n (on rappelle que k est défini par le fait que les fonctions de G sont de classe C^k, k ≥2). Comme la restriction est une opération continue, si la restriction ˜U de U est un ouvert de Λ^k, alors U est un ouvert de G. Si ˜g est proche dans Λ^k de la restriction f˜de f donnée dans G , il est facile de prolonger ˜g (par exemple par une fonction g à support compact) pour que g soit proche de f dans G. Prouver que ˜G^{M S}

n est g´en´erique dans ˜G^H

n est donc ´equivalent `a prouver que G^{M S}

n est g´en´erique dans G^H

n . Enfin, notons que la restriction d’un ouvert de G est un ouvert de Λ^k par l’argument de prolongement suivant : si ˜fn tend vers ˜f dans Λ^k, on peut construire une suite de fonctionsfn qui tend vers f dans G avec les restrictions des fnégales à ˜fn. D’où ˜G^H

n est un ouvert de Λ^k. Lemme 3.3.1 Soit f0 dansG˜^H

n et e0 un ´equilibre de (2) pour f =f0. Alors il existe deux voisinages U ⊂ G et V ⊂ G˜^H

n de e0 et f0 tels qu’on ait les propriétés suivantes. Pour tout f ∈ V, il existe un et un seul équilibree(f) dansU, cet équilibre a le même indice de Morse que e0 et f 7−→ e(f) est de classe C¹. Il existe m tel que si u(t) est une solution de (2) telle que u(t) ∈ U pour t ∈]− ∞;−m] (respectivement t ∈ [m; +∞[), alors u(t) tend vers e(f) dans X^α quand t −→ −∞ (resp. +∞). De plus, il existe c ∈ R tel que si t0 est un temps donné, u1 et u2 deux solutions pour f1 et f2 qui restent dans U pour t∈J =]− ∞, t₀] ou J = [t₀,∞[, alors

sup

t∈J

k(u₁−u₂)(t)k_X^α ≤c(kf₁−f₂k_Λ^k+ku₁(t₀)−u₂(t₀)k_X^α).

Démonstration : Puisque e0 est hyperbolique, le théorème des fonctions implicites donne directement l’existence et l’unicité de e(f) dans U et le fait que f 7−→e(f) est de

(19)

classe C¹. La continuité du spectre de ∆ +f_u^′(x, e(f)) donne quee(f) est hyperbolique et de même indice. Le fait que, si u(t) est dans U pour t proche de ±∞, alors u(t) −→ e, est un résultat classique sur les variétés stables et instables, on pourra le trouver dans [7]. Que U puisse être choisi indépendamment de f et la propriété de Lipschitz viennent de la construction des variétés stables et instables comme points fixes d’une fonctionnelle

lipschitzienne en f etu₀ =u(t₀).

Soient f₀ une fonction de ˜G^H

n, deux ´equilibres e₁ et e₂ de (2) pour f = f₀, U₁ et U₂ les deux voisinages de e₁ ete₂ etV =V₁∩ V₂ le voisinage def₀ qui d´ecoulent du lemme 3.3.1.

Soient B, D1 etD2 trois ensembles born´es de X^α tels que B ⊂ Get Di ⊂ Ui.

Lemme 3.3.2 Avec les notations précédentes, on prend une suitef^ν dans V qui converge vers f^∞ ∈ V. Soit u^ν une suite de trajectoires hétéroclines de (2) pour f =f^ν telles que u^ν(t)∈ B,∀t∈R, u^ν(t)∈ D1,∀t∈]− ∞, m] et u^ν(t)∈ D2,∀t∈[m,∞[, pour m≥0 fixé.

Alors on peut extraire une sous-suite u^φ(ν) qui converge dans Cb(R;X^α) vers une solution hétérocline u de (2) pour f = f^∞. De plus, si les fonctions f^ν sont de classe C² avec D²f^ν uniformément bornée pour u ∈ G et f^ν ∈ V, alors il existe une sous-suite u^φ(ν) convergeant vers u dans C^1,δ(R, X)∩ C^0,δ(R, X¹) pour δ∈ [0,1−α[.

Démonstration : Nous ne détaillerons pas ici toute la preuve qui utilise quelques lemmes techniques, on pourra se reporter à [3]. Nous allons donner l’idée de la preuve pour l’extraction d’une sous-suite dans Cb(R;X^α) qui repose principalement sur le lemme précédent et sur le théorème d’Arzela-Ascoli.

On commence par extraire une sous-suite de u^ν_|[−m,m]. Puisque B est borné dans X^α, ku^νkCb(R;X^α) et kf^ν(x, u^ν)k_C^k₍R,X) sont bornés indépendamment de ν, ce qui implique que ku^νk_C^1,θ₍R,X)∩C^0,θ(R,X¹) est uniformément borné. Puis , comme X¹ s’injecte de fa¸con compacte dans X^α, le théorème d’Arzela-Ascoli donne une sous-suite u^ν convergente dans C⁰([−m, m], X^α).

On utilise maintenant le lemme 3.3.1 : puisqueu^ν(m), u^ν(−m) et f^ν convergent, u^ν_|[m,+∞

et u^ν_|]−∞,m] convergent, donc u^ν converge vers u dans Cb(R;X^α). En passant aux limites, u(t) ∈ B,∀t ∈ R, u(t) ∈ D1,∀t ∈]− ∞, m] et u(t) ∈ D2,∀t ∈ [m,∞[. En passant `a la limite dans la formule de variation de la constante

u^ν(t) =e^t∆u^ν(0) + Z t

0

e^∆(t−s)f^ν(x, u^ν(s))ds,

on a bien que u est solution de (2) pour f =f^∞. Les propriétés de U₁ et U₂ font que u est une trajectoire hétérocline.

Nous allons maintenant nous ramener à un théorème dont la démonstration finira cette partie. On rappelle que l’on veut montrer que ˜G^{M S}

n est g´en´erique dans ˜G^H

n, que ˜G^{M S}

n et G˜^H

n sont les ensembles des restrictions à Ω×[−n, n] des éléments de G^{M S}

n et G^H

n. Enfin,