M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques
1. Ensembles alg´ebriques projectifs Faire les exercices 2,3,10,12,13 Exercice 1. Soit C =V(X3+ X2Z−Y2Z) dansP2.
(1) Montrer que C est une vari´et´e projective de dimension 1.
(2) Quels sont les points singuliers de C ?
(3) D´eterminer le domaine de d´efinition de l’application rationnelle [x :y :z]7→[y:x]
de C dansP1.
Exercice 2. Soit ϕl’application rationnelle de P1 dansP3 d´efinie par : ϕ([x:y]) = [x3:x2y:xy2 :y3].
On note C l’image deϕ dansP3.
(1) Quel est le domaine de d´efinition de ϕ?
(2) Montrer que C =V(I), o`u I d´esigne l’id´eal (XT−YZ,Y2−XZ,Z2−YT).
(3) Soit F un polynˆome homog`ene dansk[X,Y,Z,T]. Montrer par r´ecurrence sur le degr´e de F en Y et Z que F est congru modulo I `a un polynˆome de la forme :
a(X,T) +b(X,T)Y +c(X,T)Z, avec a, b, c∈k[X,T].
(4) Montrer queI(C) est ´egal `a I.
(5) Montrer que C est lisse.
(6) D´eterminerV(XT−YZ,Y2−XZ).
Exercice 3. Trouver les points singuliers des vari´et´es projectives suivantes.
(1) V =V(X2+ Y2−Z2)⊆P2; (2) V =V(X3−Y2Z)⊆P2.
Exercice 4. D´ecrire les sous-vari´et´es deP1.
Exercice 5. Montrer que les ensembles alg´ebriques projectifs de P2 ci-dessous sont irr´eductibles et calculer leur dimension :
P2, V(X−Y), V(X2−YZ), la droite `a l’infini, un point.
Exercice 6. D´eterminer O(U) pour l’ouvert U =P1\V(X2−Y2).
Exercice 7. Montrer que ϕ:V(Y2Z−X3) →P1 d´efinie par [x:y :z]7→ [x2 :y2] est un morphisme de vari´et´es projectives.
Exercice 8. Soit ϕ:P2 →P1 d´efinie par [x:y:z]7→[x:y].
(1) Montrer que ϕ d´efinit une application r´eguli`ere sur l’ouvert P2\V(X−Y). Quelle est son image ?
(2) Montrer queϕn’est pas une application r´eguli`ere sur P2.
1
2
(3) Montrer queϕest une application rationnelle sur P2.
Exercice 9. Trouver les points singuliers deV(Y2Z−X(X−Z)(X−λZ))⊆P2 suivant λ∈k.
Exercice 10. Soit C =V(X3−Y2Z)⊆P2. Montrer que : (1) C est une courbe.
(2) ϕ: C→P1, [x:y:z]7→[x:y] n’est pas une application r´eguli`ere.
(3) C n’est pas lisse.
(4) [0 : 0 : 1] est un point singulier de C.
(5) [0 : 0 : 1] est le seul point singulier de C.
Exercice 11. Montrer de trois fa¸cons que l’application rationnelleϕ:V(X2−YZ)→P1 d´efinie par [x:y:z]7→[x:y] est un morphisme.
2. Diviseurs
Exercice 12. Calculer les diviseurs principaux associ´es aux fonctions rationnelles surP1 suivantes :
f1 = X2+ XY + Y2
X2+ Y2 , f2 = X2+ XY + Y2
XY + Y2 et f3 = X2+ 2XY + Y2 XY + Y2 . Exercice 13. Calculer div(f) pour f = X/Y∈k(C) avec :
(1) C =P1
(2) C =V(XY−Z2)⊆P2 (3) C =V(ZY2−X3−Z3)⊆P2.
Exercice 14. Montrer que tout diviseur principal deP1 est de degr´e 0, puis que tout di- viseur de degr´e 0 deP1 est principal.
