M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques
1. Ensembles alg´ebriques affines
Exercice 1. Montrer que les sous-ensembles alg´ebriques affines propres deA1 sont finis.
Exercice 2. Soita= (a1, . . . , an)∈An. Montrer que le noyau du morphisme d’alg`ebres P7→P(a) de k[X1, . . . ,Xn] danskest l’id´ealma engendr´e par X1−a1, . . . ,Xn−an. Exercice 3. Trouver une union d´enombrable d’ensembles alg´ebriques affines de An qui ne soit pas un ensemble alg´ebrique affine.
Exercice 4. On suppose que n= 2 et que k=R. Montrer que :
(1) L’ensemble{(cos(t),sin(t))|t∈R}est l’ensemble alg´ebrique affineV(X2+Y2−1).
(2) L’ensemble {(t, et) |t∈R}n’est pas un ensemble alg´ebrique affine.
(3) La branche d’hyperbole{(cosh(t),sinh(t))|t∈R}n’est pas un ensemble alg´ebrique affine.
Exercice 5. Montrer que les ensembles suivants sont des ensembles alg´ebriques affines : (1) V1 ={(t, t2, t3)∈C3 |t∈C}.
(2) V2 ={(t,1/t)∈C2 |t∈C×}.
(3) V3 ={(t−1, t2−1)∈C2 |t∈C}.
(4) V4 ={(4t2−4t+ 1, t3−1)∈C2 |t∈C}.
Exercice 6. Soient V⊆Anun ensemble alg´ebrique affine et L⊆An une droite affine.
(1) Montrer que V∩L est soit fini, soit ´egal `a L.
(2) On suppose que n= 2 et que V =V(P) avec P∈k[X,Y]. Montrer que, si L*V, alors L∩V est de cardinal au plus ´egal au degr´e de P.
Exercice 7. Montrez que{(t,sint) |t∈R}n’est pas un ensemble alg´ebrique affine.
Exercice 8. Soit V =A2\ {(0,0)}
1. Determiner I(V) et V(I(V)).
2. L’ensemble V est-il alg´ebrique.
Exercice 9. Soient I = (X2+Y2, XY3) et J = (X2;Y3).
1. D´eterminer V(I) et V(J).
2. D´eterminer I(V(I)) et I(V(J)).
Exercice 10. D´eterminez si les parties alg´ebriques suivantes deA2 sont irr´eductibles : (1) Un singleton.
(2) Une paire de points.
(3) L’ensemble V(XY).
(4) Les ensembles V(Y−X) etV(Y−X)2).
(5) L’ensemble V(Y−X2).
(6) Les ensembles V(Y2−X2) et V(Y2+ X2)
1
2
(7) Les ensembles V(Y2−X3−17) et V(Y2−X3+ X).
(8) L’ensemble V(Y4−X2,Y−X).
Exercice 11. Montrer que V =V(Y−X2,Z−XY) est irr´eductible dansA3, en calculant l’anneau-quotientk[V].
Exercice 12. Soit X un espace topologique. On suppose qu’il existe des ouverts U1 et U2 non vides et irr´eductibles deX tels que X =U1∪U2 etU1∩U2 6=∅. Montrer que X est irreductible.
Exercice 13. Soit I = (X + Y,Y2)⊆C[X,Y]. Calculez √
I. V´erifiez queI(V(I)) =√ I.
Exercice 14. On suppose quekest alg´ebriquement clos. Soit N l’ensemble des matrices nilpotentes de M2(k).
(1) Montrer que N est un ensemble alg´ebrique affine d´efini par les ´equations : P1= X2+ YZ, P2 = XY + YT, P3 = XZ + ZT, P4 = YZ + T2.
(2) Montrer que I(N) n’est pas engendr´e par les Pi (on pourra consid´erer la trace).
(3) Trouver un syst`eme g´en´erateur deI(N).
(4) Montrer que N est irr´eductible.
Exercice 15. Le but de cet exercice est de montrer que les ensembles alg´ebriques affines de An sont les ferm´es d’une topologie, dite topologie de Zariski.
(1) Montrer qu’une intersection d’ensembles alg´ebriques affines est un ensemble alg´ebri- que affine.
(2) Montrer qu’une union finie d’ensembles alg´ebriques affines est un ensemble alg´ebri- que affine.
(3) Montrer que ∅etAn sont des ensembles alg´ebriques affines.
Exercice 16. D´eterminer les composantes irr´eductibles des ensembles alg´ebriques affines suivants :
(1) V1 =V(XY,YZ,XZ).
(2) V2 =V(XY−Z2,X2+ Y2−Z2).
(3) V3 =V(X2+ Y2+ Z2+ 1,X2+ Y2+ Z2+ 2).
(4) V4 =V(X2+ 2Y2+ 3Z2+ 2,X2+ 3Y2+ 2Z2+ 1). (On pourra essayer d’´eliminer une ind´etermin´ee au moyen d’un changement de variables.)
(5) V5 =V(Y2−X2−1)⊆A2.
Exercice 17. Dans les cas suivants, calculerI(V(F)) et d´eterminer siV(F) est irr´eductible.
(1) F = X3∈k[X,Y,Z].
(2) F = (X−Y)2−Z2∈k[X,Y,Z].
Exercice 18. D´ecomposer V =V(X2−YZ,XZ−X)⊆A3 en composantes irr´eductibles et calculer leurs id´eaux premiers.
Exercice 19. Soit V =V(Y2−X2(X + 1)). Montrer que l’application r´eguli`ereϕ:A1 → V d´efinie par t7→(t2−1, t(t2−1)) est injective et surjective, sauf au points 1 et−1.
3
Exercice 20. Soit ϕ:A1 →A3,t7→(t, t2, t3). On note C son image. Montrer quek[C]
est isomorphe `a k[X] de deux fa¸cons diff´erentes.
Exercice 21. Trouver les composantes irr´eductibles deV(Y2−XY−X2Y + X3) et de V(X3+ X−X2Y−Y) dansA2(R) puis dans A2(C).
Exercice 22. Montrer que F = Y2+ X2(X−1)2 est irr´eductible dansR[X,Y], mais que V(F) n’est pas irr´eductible.
Exercice 23. Dans les cas suivants, construire un isomorphismeϕ: V→W d’ensembles alg´ebriques affines. Calculer sa r´eciproque et le morphisme de k-alg`ebres ϕ∗.
(1) V ={(a1, a2, . . . , an)} ⊆An et W ={(b1, b2, . . . , bm)} ⊆Am. (2) V =V(X−Y)⊆A2 et W =V(X + Y)⊆A2.
(3) V =A1 et W =V(Xr−Y)⊆A2 avecr >1.
(4) V =V(Y2−X)⊆A2 et W =V(X2−Y)⊆A2. (5) V =A1 et W =V(X2−Y,X2−Z)⊆A3. (6) V =A2 et W =V(Z−XY)⊆A3.
