M2 Universit´e de Versailles Saint-Quentin Courbes alg´ebriques
Feuille 2 `a rendre le mardi 06 octobre 2020 1. Ensembles alg´ebriques affines et morphismes
Exercice 1. Trouver les composantes irr´eductibles de V(Y2−XY−X2Y + X3) et de V(X3+ X−X2Y−Y) dansA2(R) puis dans A2(C).
Exercice 2. Montrer que F = Y2+ X2(X−1)2 est irr´eductible dansR[X,Y], mais que V(F) n’est pas irr´eductible.
Exercice 3. Soit V =V(Y2−X2(X+1)). Montrer que l’application r´eguli`ereϕ:A1 →V d´efinie par t7→(t2−1, t(t2−1)) est injective et surjective, sauf au points 1 et−1.
Exercice 4. Soit V = V(Y2−X3). Montrer que l’application r´eguli`ere ϕ : A1 → V d´efinie par t7→(t2, t3) est bijective. Est-ce un isomorphisme ?
Exercice 5. Dans les cas suivants, construire un isomorphismeϕ: V →W d’ensembles alg´ebriques affines. Calculer sa r´eciproque et le morphisme de k-alg`ebres ϕ∗.
(1) V ={(a1, a2, . . . , an)} ⊆An et W ={(b1, b2, . . . , bm)} ⊆Am. (2) V =V(X−Y)⊆A2 et W =V(X + Y)⊆A2.
(3) V =A1 et W =V(Xr−Y)⊆A2 avec r>1.
(4) V =V(Y2−X)⊆A2 et W =V(X2−Y)⊆A2. (5) V =A1 et W =V(X2−Y,X2−Z)⊆A3. (6) V =A2 et W =V(Z−XY)⊆A3.
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