Alg`ebre 2 – TD2 2010-2011
Extensions de corps, g´ en´ eralit´ es
Exercice no 1 Soient K un corps, etP un polynˆome irr´eductible de degr´e n sur K. SiLest une extension deK de degr´e premier `an, montrer queP est irr´eductible surL.
Exercice no 2 Soit L/K une extension de degr´e 2.
1. Si la caract´eristique de K est diff´erente de 2, montrer qu’il existe x ∈ L tel que L = K(x) et x2 ∈ K. Montrer que K(√
x) et K(√
y) sont isomorphes commeK-alg`ebres si et seulement si yx−1 est un carr´e dans K.
2. Supposons que K est de caract´eristique 2. Montrer que si L n’est pas de la forme K(x) avec x2 ∈K, il existez ∈L tel que L=K(z) et z2−z ∈K. En d´eduire une classification des extensions de degr´e 2 de K `a isomorphisme de K-alg`ebre pr`es.
Exercice no 3 (Autour de la clˆoture alg´ebrique) 1. Dans C, consid´erons les corps K = Q(i), L = K(√
2), M = K(√4
2) et le corps Q des nombres alg´ebriques sur Q. Soit f ∈ AutK(L) l’automorphisme qui envoie√
2 sur son oppos´e. Montrer qu’il existe un automorphisme de M qui prolonge f, mais qu’il n’existe pas d’automorphisme involutif de M qui prolonge f.
2. Montrer que tout automorphisme de Ω laisse M stable. En d´eduire qu’il n’existe pas d’automorphisme involutif de Ω qui prolonge f.
3. Montrer qu’il n’existe pas d’application≪clˆoture alg´ebrique≫ qui `a tout corps K associe un corpsK et un morphisme de corpsK →K et `a tout morphisme de corps f :K →Lassocie un morphisme f :K →L tel que le diagramme
K f //L
K //
OO
L
OO
commute et tel que pour tousf, g, on aitf ◦g =f◦g.
Quelques calculs explicites
Exercice no 4
1. D´eterminer le polynˆome minimal de√ 2 +√
3.
2. Quel est le degr´e de l’extension engendr´ee par √5
10 +√3 7 ?
Exercice no 5 Soit K =Q(√3
2, j) o`u j =e2iπ/3 ∈C.
1. D´eterminer le degr´e deKsurQ, et exprimerKcomme corps de d´ecomposition d’un polynˆome bien choisi.
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2. D´eterminer tous les sous-corps de K ainsi que leur degr´e.
3. Donner un polynˆome irr´eductible de degr´e 3 `a coefficients rationnels dont le corps de d´ecomposition est de degr´e 3 surQ.
Exercice no 6 D´eterminer les corps de d´ecomposition des polynˆomes suivants de Q[X], ainsi que leur dimension surQ.
1. X2−3, 2. X3−2,
3. (X3−2)(X2−2), 4. X6+X3+ 1, 5. X5−7.
Entiers alg´ ebriques, applications
Exercice no 7 (Entiers alg´ebriques) Soit x un ´el´ement d’un anneau commu- tatif R. On dit que x est un entier alg´ebrique s’il existe un polynˆome P non nul, unitaire et `a coefficients dansZ qui annule x.
1. Soit x un entier alg´ebrique de Q. Montrer que x est dansZ.
2. Soitxun entier alg´ebrique dansR. Montrer qu’il existe un unique polynˆomeP non nul, unitaire et `a coefficients dans Zqui annulexet divise tout polynˆome non nul, unitaire et `a coefficients dans Z qui annule x. On dit que P est le polynˆome minimal dex.
3. Montrer que x est un entier alg´ebrique si et seulement si l’on peut trouver un sous-groupe de type fini deR contenant 1, stable par multiplication par x (utiliser le th´eor`eme de Cayley-Hamilton).
4. Montrer que l’ensemble des entiers alg´ebriques est un sous-anneau de R.
5. Soitdun entier relatif impair sans facteur carr´e. Quel est l’anneau des entiers deQ[i√
d] ?
6. Soit α un entier alg´ebrique de polynˆome minimal P. On suppose que toutes les racines deP sont de module 1. Montrer queαest une racine de l’unit´e. On pourra s’int´eresser aux valeurs possibles du polynˆome minimal d’une puissance deα.
Exercice no 8 (Degr´e des repr´esentations irr´eductibles d’un groupe fini) Soit G un groupe fini.
1. Soit χ le caract`ere d’une repr´esentation de G. Montrer que les valeurs de χ sont des entiers alg´ebriques.
2. Soit (V, ρ) une repr´esentation irr´eductible deG. Montrer que∑
g∈Gχ(g−1)ρ(g) est une homoth´etie.
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3. Soit M la sous-alg`ebre de End(V) engendr´ee par ρ(G), et soit R son centre.
Montrer que∑
g∈Gχ(g−1)ρ(g) est dansR, et que c’est un entier alg´ebrique (on pourra d´ecomposer suivant les classes de conjugaison, et utiliser la question 2 de l’exercice pr´ec´edent).
4. Calculer le rapport de cette homoth´etie, et en d´eduire que la dimension de V divise l’ordre deG.
