UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2014/2015 Master 2 Math´ ematiques Introduction ` a la g´ eom´ etrie alg´ ebrique
Feuille d’exercices 6
Soit k un corps alg´ ebriquement clos.
Exercice 1. Soit (X, O X ) un ensemble alg´ ebrique et Y ⊂ X un sous-ensemble. Pour tout U ⊂ X on d´ efinit
I Y (U ) := {f ∈ O X (U ) | f (x) = 0 tel que ∀ x ∈ U ∩ Y }.
Montrer que I Y est un faisceau (qu’on appelle le faisceau d’id´ eaux de Y dans X).
Exercice 2. Soit X ⊂ k n (resp. Y ⊂ k m ) un ensemble alg´ ebrique affine muni de son faisceau de structure O X (resp. O Y ). Soit
ϕ : X → Y
un morphisme d’ensembles affines. Montrer que ϕ d´ efinit un morphisme entre les espaces annel´ es (X, O X ) et (Y, O Y ).
Exercice 3. On consid` ere l’espace affine k 2 muni de son faisceau de fonctions O k
2.
a) Soient f 1 , f 2 ∈ k[X 1 , X 2 ] des polynˆ omes non-nuls tels que pgcd(f 1 , f 2 ) = 1. Montrer que l’application de restriction
r : O k
2(k 2 ) → O k
2(k 2 \ (V (f 1 ) ∩ V (f 2 ))) est un isomorphisme.
b) L’ensemble k 2 \(0, 0) est un ouvert dans l’ensemble alg´ ebrique (k 2 , O k
2), il a donc une structure induite d’ensemble alg´ ebrique. Montrer que k 2 \ (0, 0) n’est pas isomorphe ` a un ensemble affine.
Indication : utiliser (et montrer) que O k
2(k 2 \ (0, 0)) ' O k
2(k 2 ) = k[X 1 , X 2 ].
Exercice 4. Soit X un espace topologique et F un pr´ efaisceau de fonctions, donc pour tout U ⊂ X ouvert F(U ) est un ensemble de fonctions d´ efinies sur U et ` a valeurs dans un ensemble K. On d´ efinit pour tout U ⊂ X ouvert
F + (U ) := {f : U → K | ∀x ∈ U ∃V ⊂ U ouvert tel que x ∈ V et g ∈ F (V ) tel que f | V = g}.
a) V´ erifier que pour tout U ⊂ X ouvert on a une inclusion naturelle F (U) ⊂ F + (U ).
b) Montrer que F + est un faisceau sur X (qu’on appelle le faisceau associ´ e au pr´ efaisceau F).
c) Soit G un groupe et G le pr´ efaisceau des fonctions constantes ` a valeurs dans G, i.e. pour tout U ⊂ X ouvert on a
G(U ) := {f : U → G fonction constante}.
Montrer que G + est le faisceau des fonctions localement constantes ` a valeurs dans G.
1
Exercice 5. Pour cet exercice il est n´ ecessaire d’avoir suivi un cours d’analyse complexe en une variable. On consid` ere X := C muni de la topologie euclidienne. Pour tout U ⊂ X ouvert on d´ efinit
O X (U ) := {f : U → C holomorphe}
et
O ∗ X (U ) := {f : U → C holomorphe et f (x) 6= 0 ∀ x ∈ U }.
a) Montrer que O X et O ∗ X sont des faisceaux.
On d´ efinit une application exp : O X → O ∗ X en posant pour tout U ⊂ X ouvert exp(U ) : O X (U ) → O ∗ X (U ), f 7→ e f .
b) Montrer que exp(U ) n’est pas toujours surjectif (par exemple si U = C \ 0).
c) Montrer que pour tout x ∈ X l’application exp induit une application exp x : O X,x → O ∗ X,x .
d) Montrer que exp x est une application surjective pour tout x ∈ X.
Exercice 6. Dans cette exercice nous allons d´ efinir le faisceau structural sur l’espace projectif P 1 (le cas de l’espace projectif P n est analogue). Pour simplifier les notations on pose R := k[X 0 , X 1 ] a) Soit f ∈ R un polynˆ ome homog` ene de degr´ e d > 0, et soit R f la localisation de R en f . Si
g
f
r∈ R f avec g ∈ R homog` ene de degr´ e e > 0, on d´ efinit deg( g
f r ) = e − dr.
Soit R (f) ⊂ R f l’ensemble des ´ el´ ements de degr´ e 0. Montrer que R (f) est un sous-anneau.
b) Noter que les ´ el´ ements de R (f) d´ efinissent des fonctions sur P 1 \ V (f ). Montrer qu’on peut identifier un ´ el´ ement X g
d0
